从平面向量的引入浅鉴高中数学新教材改革之一隅

从平面向量的引入浅鉴高中数学新教材改革之一隅

- - - - - - - - - 小议高中数学新教材改革之终极目标

随着人类新型知识体系的构建和形成，新的教育理念正在向传统的教育模式发起挑战，促使其必须进行重大革命，以适应高度发展起来的现任新型知识体系。直到19世纪末20世纪初才发展起来的“向量数学”，以其在物理学、空间物质结构中的广泛应用，而备受人们所观注，进而很快形成了一套具有优良运算通法的数学体系，现已被纳入中学数学基础教程中，成为数学新教材改革的一大闪光点。

一、 人类新知识体系，使得21世纪的基础教育课程结构更加现代化。

按照英国技术预测专家詹姆斯·马丁的预测，人类的科学知识在10世纪是每50年增加1倍，在20世纪中期是每10年增加1倍，而当前是每3—5年增加1倍。他的预测的精确程度还有待考究，但据联合国教科文组织的统计，截止1980年，当代人类知识体系中，人类有史以来100多万年积累的知识占10%，而近30年积累的占90%，而90年代后，人类知识积累速度更加迅速。显然人类新知识体系显现出了前所未有的高度膨胀的短周期效应， 这就使人类基础教育课程结构改革必须跟上时代发展的步伐。

现代电子办公一体化的形成，复印机、传真机、可视电话、移动通信、国际互联网（Internet）以及全球卫星定位系统可谓是真正进入了人们的日常生活。比如，网络时代的产物：E-mail的接发、信息查询（Archie）、登录环球各信息网站（www）等等，这些都标志着的高度信息化社会的到来，大量有用的和无用的信息越来越多，传播越来越便捷，人们获取和传播信息的方式和能力显然与过去有了天地之别，这对现代中学基础教课程教材提供了众多新的课题。

由于刚过去的20世纪，我国教育从中小学到大学基本了停留在18、19世纪的旧知识体系上，不少陈旧知识占去了学生相当多的学习时间，学习知识老化与迅速发展的科学技术极不相称。更加让学子们不能接受的事实是，现在所学的内容在今后5—6年毕业后，已经陈旧甚至被淘汰。怎样解决这一系列矛盾呢？现代化的电子媒介技术为基础教育课程改革提供了的新的广阔前景，这也许就是人们通常所认为的“教学相长”吧，教育推动了科学技术的进步，同样进步了的科学技术反过来又会推动教育向更高层面上发展。

在现代教育技术支持下，教师一改过去“单一的传授教材知识”转变为“辅以现代媒体技术的现代教材体系”。 目前，新的课程数学教学要求中，明确增加通过“研究性课题”使学生学会提出问题，明确探究方向，体验数学活动的过程，培养创新精神和应用能力。

二、 平面向量的引入，充分体现了高新教材改革的深度和广度。

受新知识体系的影响，作为最近一个世纪才兴起的“向量数学”这套数学体系，以其优良的运算通性，将数学中的“数量”运算与物理中的“矢量”运算有机地结合起来，充分数学作为一门基础性学科的重要地位。

向量作为一种新的量，它不同于数量，数量的代数运算在向量范围不一定能施行，因此在实际教学中，应明确数量和向量的区别，并重新规定了向量的加法、减法、实数和向量的积、向量的数性积和矢性积等运算法则。并在引入二维坐标系后，将向量与坐标紧紧联系起来，增加了向量的渗透性和实用性，更体现了向量运算的价值，下面简单附几例以亨读者。

例1 设△ABC是锐角三角形，在△ABC外分别作等腰Rt△BCD、△ABE、△CAF，在这三个三角形中，∠BDC、∠BAE、∠CFA是直角，又在四边形BCFE外作等腰Rt△EFG，∠EFG是直角，求证：（1）GA= AD （2）∠GAD=1350

（1994年上海市试题）

G
【简析】：以点A为原点建立直角坐标系（复平面），记G相应的复数为ZG，D相应复数为ZD，如图，

ZG=AG=AF+FG

E
D
=AF+EF

F
A
=AF+（EA+AF）

=AF（1+ ）+BA

C
B
（-1+ ）ZD=（-1+ ）AD

=DA+AD

=DB+BA+（AC+CD）

=BA+DB+BD+AC

=BA+（AF+FC）

=BA+AF（1+ ）

∴ZG=（-1+ ）ZD 即 GA= AD ，∠GAD=1350 。

【评析】：此题将向量与复数二维坐标系完美地结合起来，化繁为简，创造性使用向量完成了证明，值得同学们借鉴。本题也可用传统平几证明方法证明，这里不再赘述。

例2 如图，已知位于同一平面内的正三角形ABC，CDE和EHK（顶点依逆时针方向排列），并且AD=DK。证明：△BHD也是正三角形。

A
B
（1981年苏联试题）

E
D
C
【简析】：将△CAD绕C点逆时针旋转600，易知其得到△CBE， ∴ │AD│=│BE│ 且AD、BE夹角为600 又∵AD=DK

∴│DK│=│AD│=│BE│ 且DK、BE的夹

角也是600

K
H
再将△HBE绕H顺针旋转600，又因为

△EHK是正三角形，所以点E转到K，线段EB

与KD重合，即B转到D

于是│HB│=│HD│，∴HB、HD夹角为600

∴ △BHD是正三角形。

【评析】：此题巧妙利用了向量与向量的夹角证明了正三角形的结论。实际题中条件“”等价于“在一直线上，”这个条件，读者可以利用初等平几知识进行证明，但均不如向量证法简洁明了。

y
例3 在半径为15cm的均匀铁板上，挖去一个圆洞，已知圆洞的圆心和铁板的中心相距8cm，圆洞的半径是5cm，求挖去圆洞后所剩下的铁板的重心。

F2
【简析】：如图，以铁板中心O1为原点建立直角坐标系，设挖去圆洞后所剩下的铁板的重心为

O’（x,0）及圆洞中心O2

O’ O1
O2
O1
x
如果在O’（x,0）处给一个支持点，根据重心原理，剩下的铁板应该处于力的平衡状态，即其余各力的力矩和应为0 ，则

F1
│F1│·│O’ O1│-│F2│·│O’ O2│=│0│

----------------------------------------------------------(*)

这里，│F1│=π×152 │F2│=π×52

│O’ O1│= x │O’ O2│= 8+x

代入(*)得，x = -1

∴挖去圆洞后所剩下的铁板的重心为O’（-1,0）

【评析】：这实质上是一道物理题的“变题”，利用“物体在平衡时，力矩和为0”来解题，这里力矩就一个向量，正体现了数学作为一门“工具性学科”的基础用途。

高中新教材在引入向量以后，使得平面几何和空间几何中许多定理、公式及一些相关问题变得直观、浅显、易理解。教材还通过布置一定量的“实习作业”、“研究性课题”等实践内容让学生亲身体验数学活动的过程，提高他们的数学素养，以达到培养学生创新精神和应用能力的目的，这也是高中新教材改革之宗旨和目标。

三、 深入进行教学与教材改革，可以为加速我国的教育现代化服务。

江总书记指出，八届全人大四次会议审议批准了关于“九五”计划和2010年远景目标纲要，明确地把实施科教兴国战略和可持续发展战略确定为实现我国这一跨世纪发展宏图的重要方针。也就是说在优先发展教育问题上，中央是下决心的，态度是一贯的。作为一名普通教育工作者，闻之则是振奋不已，誓志积极参与教育教学和配合教材改革及研讨，深入解剖教学深层次存在的难点和问题，充分利用身边有限的教育资源努力达到良好的育人效果，为了祖国早日实现“科教兴国”而执着不悔。

参考文献

1、***在与四所交通大学负责人的座谈讲话，1996年。

2、1983年，中国数学会、北京师范大学编《数学通报》第4期。

3、全日制普通高级中学教科书（试行修订本·必修），2000.11。

4、上海师范大学，黎加厚《现代教育技术对基础教育课程改革的影响》。