中外高中数学教材比较研究

中外高中数学教材比较研究

一、香港、台湾地区及国外（以下简称“境外”）高中数学教材的特点

1．提供丰富背景，引导探索感悟，强化应用意识

境外许多优秀教材一个共同的特点是，提供了丰富的背景资料，突出数

学的有用性。如日本教材充分突出数学应用的工具性，十分重视理论联系实际。比如，其中的一套教材在每一章开头都配上与本章课题相应的图案，“平行与合同”一章的标题图是一架静电复印机在复印。讲等式的性质时联系天平称量，讲函数时联系电灯的亮度等。新加坡的教材也很好地体现了数学的应用价值，不过，他们没有把“应用”单列成一块，而是体现和渗透于整个课程中，贯穿始终。不是人为地拼凑应用问题，更不是先有纯粹的数学知识，然后才有数学知识的应用。美国教材更是将数学的有用性发挥到极至，如其UC***P教材中的三角函数部分就充分体现了这一特点：芝加哥1951年—1981年的月平均气温、阿拉斯加的安克雷奇一年中有代表性的10天的白昼时间、单摆、风车等与三角函数有关的问题被安排在例题、习题中。

境外教材普遍重视数学交流，尽可能地给学生提供探索、发现的机会。

如英国教材重视对问题的开放化，美国教材中有《数学万花镜》、《数学游戏》、《错在哪里》、《想想看》、《数学史话》等栏目，有的教材还在引入概念时提供启发发现的原型（思考题），以引导探索的方式进行知识呈现。很多美国教材都有供进一步研究的参考书目、供进一步了解或研究的相关网址等。

在知识呈现方式上，同样也强调增强探索性。如美国UC***P教材中三角函数一章有这样一个问题：大风车的轮子顶点离地面45英尺，轮子以每分钟2周匀速运动。某人登上车轮，10秒后到达顶点，……。这个作业告诉你如何导出这个函数关系式。……。在对这个问题的探索性活动结束后还给出了一个“实习作业”：到娱乐公园收集有关风车轮的尺寸和转速，并用一个模型来描述人在风车上离地面的高度与登上风车的时间的函数关系。

将现代教育技术手段用于探索、发现，更是境外教材普遍使用的。美国的一本教材讲“函数图象的平移”时，让学生研究函数y=|x|,y=|x-3|,y=|x|+3等的图象，要求学生先手画，再用图形计算器检验，很自然地由学生自己发现了：其实都是由y=|x|“变”过来的，使学生真正成为建构知识的主体。

正如日本的课题标准中所描述的，要给学生提供更多的探索机会。如实践操作（如实地测量）、社会调查、思考分析等，在学生获得成功的同时，也发展了其积极的态度和自身数学上的成就感（新加坡的大纲中也有类似的提法）。这是数学教学的目标之一。

2．形式生动活泼，编排机动灵活，遵循认知规律

从教学内容上看，境外优秀教材（如美国）重视分析学生的心理特征，

根据不同年龄段的学生的认知结构的可接受性，安排教学内容。如大多数美国教材、香港教材和IB课程，在处理解析几何内容时，都把它分成直线、圆和圆锥曲线三部分，分别插入各个年龄段去讲授，直线方程在初二就全部解决了。我国为了保证解析几何内容的完整性，直线方程一直到高二才出现在课本上。

从呈现方式上看，国外许多优秀教材的呈现方式丰富多彩，强调用丰富

的背景材料增加学生的感性认识，注意运用学科知识的内在联系渐近地深化，循序渐进地发展。如美国教材《ELEMENTARY MATHEMATICAL ANALYSIS》（Throdorc her berg and James.D.Bristol）通过系统整理和复习初等数学，介绍初等微积分的基本方法。再如美国大多数教材在处理函数概念时，都是先定义关系，再将函数定义成一种特殊的关系，映射观点只是一带而过。在这一点上，到目前为止，我国的数学教育工作者还没有一个统一的认识，原因之一就是教师、研究人员以大人的认知能力去评价学生，总认为集合映射很容易理解，包括数列的“ε—N”定义。可能这些人已经忘记了自己当初的学习经历，或者也可能他们确实很聪明。我们几十年来从教的经验得出的结论与他们大不相同。

台湾的一本教材在处理极限这部分内容时更是独具一格：不用严格的“ε—N”、“ε—δ”定义，而采用描述性的定义方式。这样，他们先定义函数（连续）极限，后研究数列（离散）极限，因前者可用连续函数的图象引导，在直观图象的启发下，学生很容易掌握，在此基础上再学习数列极限反而容易了。这种从学生认知能力出发进行的别出心裁的设计是很值得我们学习的。

英国、新加坡的教材更是按学生能力和水平，将内容进行“多层次结构”的设计，对不同学生提不同要求，就是在教学课时的安排上也很灵活。这种不仅考虑不同年龄学生的思维能力、认知水平，而且对同年龄的学生的学习能力也区别对待的做法是值得充分肯定的。

另外，境外教材设计的灵巧，印刷的精美，形式的活泼，很强的可读性都是值得我们认真学习的。

3．目标取向多元，充分发展个性，注重横向联系

德国中小学教育有多种形式，分主要学校、实科学校和完全中学。根

据培养目标的不同，各自有着自己的教学大纲和教材，这样的教育是多元化的。这种教育目标多元化正是德国先进教育理念的体现。这种多元化的教育观既体现了社会对人的需求的多元化，也能够根据学生各自对数学的兴趣、爱好、能力，尽量做到发展个性，以人为本。

日本教材体现了面向全体学生的原则，坚持“大众数学”的理念。他们的学生小学二年级起就学习统计知识，初三进一步学习概率与统计，让学生在初中就懂得资料整理、资料比较、古典概率、样本调查等知识。为了使这些重要知识的教学落到实处，他们采取了多轨制的形式，分层教学，使全体学生掌握“必需的数学”。另一方面，日本的数学教材很强调内容的改革，大胆删去了平面几何的系统教学，只剩下最实用的部分，而且不自成系统。他们将概率统计串于全套教材之中，既把它作为实用知识和方法，又把它作为培养学生逻辑思维能力的素材。

台湾教材的理念是：着重从实例出发，使学生有具体的概念，再做理论的推演，互相印证。以达由浅入深，循序渐进之功效。他们高一、高二统一教材，题为《基础数学》，高三阶段，文科学《普通数学》，理科学《理科数学》。总结构是分块组合混合编写。这种做法与我们的新课程标准的处理方法有相似之处，两者比较，我们的可选择性更强，但操作起来可能复杂一些。

美国中学数学教材的多样化更是突出：象威士康星州的一个学校的教学计划，光是数学课程，就提供了不少于15种的学习程序，最浅的只达到我们初二的水平，高的则达到我国的大一结束的水平。根据这种要求，教材的多样化就随之形成了。尽管美国的中学数学教材种类繁多，系统多样，但其共性特征也很明显：都注意于学生自学，该详细处则详细，该放手时则放手：很重视探究问题的安排。

美国的这种让各种教材相互竞争，让不同的人选用不同的教材的做法，对人的全面素质的培养、对学生的个性发展，无疑是十分有益的。

西方的不少教材打破几何、代数、三角各分支之间的界限，混合在一起讲授，这样可减少内容的重复讲授，显得紧凑而便于学生掌握。如美国Prentice Hall出版的《Advanced Mathematics》中的一章“Polar Coordinate and Complex Numbers”(极坐标和复数)，这一章揭示了“极角和辐角”、“极径和模”之间的天然联系，使学生比较轻松地掌握了极坐标及复数这两个不太容易的数学内容，体会了这两个数学概念的联系。

4．文化氛围浓厚，材料新颖有趣，技术运用充分

在美国的一本1989年出版的教材中的《逻辑》部分，教材在边沿空白

处介绍了英国数学家George Boole(1815—1864)。他的著作《思想的规律》把逻辑发展为抽象的数学系统，出现了逻辑运算的规则，“且”“或”“非”的提出和符号。用这一思想，他建立了逻辑代数。又介绍了德国数学家

De Morgan(1806—1871)、英国数学家John Venn(1834—1922)的治学精神和贡献。美国上世纪70年代出版的一本几何课本中介绍了五位科学家的传记，他们并不是数学家（分别是女建筑家、测量学天文学家、工程数学家、经济学家等），重点介绍他们的治学精神和把数学应用到别的学科中去的事迹。又介绍了地质工作者、普通计件工、制图工、木工、会计、计算机软件的发展等不同工种的经历，着重说明数学的应用。

美国的Ray C.Jurgensen,Richard G.brown,John W.Jurgensem等人所编的一本几何教材中向学生介绍了计算π值的几种不同途径（要求学生用计算器计算）：

十八世纪的Sharpe:


十七世纪的Waills:


十七世纪的Leibniz：


及十六世纪的Vieta的一种计算方法。

以上这些事实说明一个问题：国外的很多优秀教材特别重视对学生人文精神的培养。

很多国家的教材都是在激烈的竞争中不断创新，不断完善的。正是由于

这种与时俱进的精神，使其教材的内容始终体现出时代感，极大可能地将最新成果加以包容。如当计算机进入教学后，美国的一些教材就将运用计算机进行函数拟合引进教材、用图形计算器画函数图象研究图象变换问题，等等。

由德国施普林格出版社1998年出版的，COMAS（美国数学及其应用联合会）组织专家编著的的一本教材《Principles and Practice of Mathematics》中在“线性代数”一节中的“背景聚集”栏目中介绍了“机器人和几何学”，并配了相关图片。该书涉及的新颖有趣的“背景”材料还有很多，如“汽车面积计算”、 “是否正在发生全球变暖的情形？”,等等。这些充满新意的材料既使学生及时接触到最新的科技成果、最紧迫的社会问题，也使增强了数学应用意识，更激发了学习的兴趣。

美国的教材《FUNDAMENTALS OF MATHEMATICS》（1989年版）中有很多有趣的“游戏题”：通常使用的唱片，直径是12吋，转速是每分钟33 转，问唱片上有多少条槽？”这是一个不需计算的问题，只有一条槽，因为它是连通的。肯定会有学生会拿起笔或计算器，结果令人捧腹。

更为有趣的是，上述的COMAS编著的教材《Principles and Practice of

Mathematics》在“向量”一节的“背景聚集”栏目中介绍了一张在正在飞行的飞机上打网球的图片：“我们不知道Ivan Ungen和Gladys Roy是否确实在一架正在飞行的飞机机翼上打网球。若确实的话，设想一下她们该怎样处理速度向量和力向量。当Gladys将球直接击向Ivan时会发生什么？如果她希望Ivan将球击回的话她该向哪儿击球？飞机加速、减速和匀速时有什么不同？……”

这样的问题，既有探索性，又充满趣味，确能调动学生学习数学的积极性。

国外教材都重视对新教育技术的运用，如在上面所介绍的月平均气温、

白昼时间等问题中用计算机进行函数拟合，讲图象变换时用图形计算器作图，用计算机（器）计算π等。事实上，在很多教材中都有着计算器的界面和用法介绍，对于传统的计算手段不适应的问题，都是尽可能地将计算机（器）加以运用。如美国Ray C.Jurgensen主编的一本几何教材中，在求等腰三角形内接矩形的最大面积时就用了计算器，甚至在进一步研究圆锥的内接圆柱的体积的最值问题时，书中还附有用BASIC语言叙述的程序。

这里还需要特别说明一下，以上所介绍的都是境外教材中的优点，是从大量的境外教材中找出的、可供我们借鉴的成功的方面。其实，境外教材也并不是十全十美，也还都存在着很多不足，或不适用于我们的地方。如有些教材要求太低，虽然在创新意识上很重视，但由于知识基础太薄弱，思考、创新的数学基础得不到保证。太过于追求新意，导致与数学相去甚远，学生的数学能力得不到有效训练。太多的具体问题，使数学淹没其中，学生的数学知识系统性太差。练习、习题的量不足，使学生的数学技能得不到有效训练。等等。这些都是我们应尽量避免的。

二、中国境内现行教材特点分析

经过几代人共同努力，我国中学数学教育成绩显著，这些成绩的取得与

具有中国特色的中国数学教材也是密切相关的。可以这么说，我国现行高中数学教材在某些方面还是比较优秀的，甚至为西方国家（如美国）的一些教材专家所重视。如：我国现行高中数学教材强调数学知识的系统性，使我们的高中毕业生掌握了较为完整的初等数学知识；强调三大基础能力，使我们学生的逻辑推理能力、运算能力和空间想象能力得到了充分的训练；强调数学技能的培养，使我们的学生数学基础扎实，解题能力强。最新一版的试验教材还重视了数学思想方法的渗透，有效地培养了学生的思维能力。同时，试验教材也在一定程度上加强了对数学应用性的体现，如讲反函数，原来的教材就是从y=2x+7解x，再引入反函数的概念，既没有体现产生的过程，反映引入反函数的必要性，又过于抽象，难以理解。试验教材中改为从已知时间求位移，变为已知位移求时间，使数学源于生活得到充分体现，且加强了与其它学科的横向联系。

这些成功经验在编写新教材时要得到充分的继承。不过，我们不能沉迷于已有的成绩，要更多地进行理性的思考，对现行教材的不足之处要有一个清醒的认识，并在新教材的编写过程中加以克服。

以下就是我国教材的一些不足之处。

1．内容过于陈旧，缺少现代气息

缺少现代意识，体现“教育面向现代化，面向世界，面向未来”不够。几十年来，内容没有一点变化，微积分等内容几进几出，基本未作考试要求，所以，也没有几所学校真正教过。对社会生活有用的概率、统计、向量等内容迟迟未能进入教材。

例、习题中也多为理论性的问题，缺少有生活气息的内容，没有反映最新科技成就的内容，没有充满趣味的内容，使人感到数学就是一付冷面孔。

现行试验版教材已有所改进，但还不很成功。

2．结论呈现为主，探索活动不足

把数学看成是一些现成的法则直接“告诉”学生，未提供知识的发生过

程。呈现方式呆板，缺少符合学生思维的求疑、猜测、尝试、验证、分析和综合的过程。教材就象是文献式的，只提供现成的结论。

现代建构主义的学习理论在国内教材中体现不够，教材没有提供让学生主动进行知识建构的空间。由于没有脱离“数学学习是累积式、接受式的”传统的学习观，片面追求学习的“效率”（其实还是以接受知识的多少来衡量效率的高低），教材几乎没有给学生留有思考的空间，发挥的余地。

3．忽视背景揭示，应用缺乏空间

西方教材中数学知识的引入大多都以阅读材料的方式出现，这些材料内容广泛，形式各异，图文并茂，有生动具体的现实问题，有让人着迷的数学史，有发人深省的悬念，也有没有解决的各种问题，还有现代数学及其应用的最新发展等。对数学知识和关键概念，定义，定理，将有意义的例子穿插其中。学生在娓娓动人的叙述和问题求解中学到了知识，懂得了数学的来源和背景，也体会了数学的应用与价值。如美国芝加哥大学著名数学教育家Usiskin主编的UC***P教材第一册中，在介绍十进制时，呈现在学生面前的是古埃及、古罗马的阿拉伯数字的演化过程的图片。又如在Prentice Hall出版的美国教材《Advanced Mathematics》第一章第四节“Relation and Function”（关系与函数）一开头为了介绍对应与逆对应的概念，给出了“密码的编制与破译方法”的问题；在引入矩阵乘法时，要求学生用矩阵作为工具找出飞机航运的网络关系等。这些都使知识的发生过程得到暴露。

反观我国教材 ，联系实际不够，不能体现数学“源于实践、用于实践”

的本质，没有体现数学是“生活常识的精微化”特点。所有的一点数学应用，也主要是机械套用现成结论，去处理一些人为编造的“应用题”。其实，现代社会生活、科学技术、生产实践中存在大量鲜活的材料，只要我们充分挖掘，精心设计，就能给出很多的具有趣味，生活味浓厚的“应用”问题

4．过分强调体系，“认知”存在困难

观念陈旧，还主要以上世纪50年代的前苏联的那套思路为指导思想，过分强调知识的逻辑结构体系，过分追求形式化，而不能考虑学生的思维能力、认知水平。一再坚持用“映射”的观点定义函数就是一个典型。又如将立体几何、解析几何放到高中阶段“系统”讲授，为的就是“体系”。其实，如果从小学开始逐步渗透空间概念，就不会出现现在的高中生学习立体几何感到困难重重的局面。同样，解析几何各部分内容对学生认知能力的要求也不尽相同，完全可以根据其抽象程度的不同，结合学生的认知水平，将其分解到相应的年级。这种滚动式的学习比集中接受效果一定要好。

另一方面，知识的呈现方式也要与学生的认知能力相适应，高中生与小学生、初中生的思维能力和方式是不一样的，高中教材既不能象小学、初中那样过分依赖直觉，也不能陷入片面追求形式化的误区。要有问题的提出和形成过程，规律的发现过程，思路的探索过程，还要有总结、反思的提升过程，这在现行教材中也做得不够。

5．目标取向单一，个性难以发展

这一点从我们的单一教材，统一要求，统一高考就可以看到。其弊端也

是非常明显的。因为人的能力、兴趣爱好、个性特长不一样，将来从事的职业也不尽相同，其对数学的需求不可能完全一致。新的数学课程标准提出的“人人学有用的数学，不同的人学不同的数学”，是非常正确的。在编写新教材时应充分注意到不同的人对数学的不同要求，当然，也要注意到不同的人对数学的相同的要求：对数学的认识和意识，数学的思维品质及数学地认识、思考问题的意识等。

6．横向联系不够，数形不能沟通

正如前面已讲，我国教材过分注重于内容的完整性（如“解析几何”）

和逻辑性，而西方的不少教材打破几何、代数、三角各分支之间的界限，混合在一起讲授，这样可减少内容的重复讲授，显得紧凑而便于学生掌握。如美国Prentice Hall出版的《Advanced Mathematics》中的一章“Polar Coordinate and Complex Numbers”(极坐标和复数)，这一章揭示了“极角和辐角”、“极径和模”之间的天然联系，使学生比较轻松地掌握了极坐标及复数这两个不太容易的数学内容，体会了这两个数学概念的联系。

7．文化气息不浓，信息技术不多

与境外教材相比，我国现行教材缺少文化气息，忽视了数学的文化价值和对学生的人文精神的培养。只介绍了很少的几个中国古代数学家（如祖冲之、杨辉），对中国古代、近现代数学家的事迹、成就介绍得很不充分，更谈不上外国著名数学家了。其实很多数学史实，包括数学符号、数学方法、数学思想和数学应用，都有着较强的人文教育的功能，理当高度重视。如上面介绍的美国教材中让学生用不同的公式计算π的做法，不仅是说明现代信息技术的强大运算功能，更能让学生感受到数学家们不懈地追求真理的科学精神，体会到科学的发展凝聚了众多科学家们的智慧和创造。同时，这些优美的求法又可对学生受到数学美的熏陶，加深对数学思想方法的理解，促进对科学思维方法的认识,培养数学审美能力。

现行教材还有一个存在问题：除试验教材上有点数学网址外，现代信息技术几乎没有体现，这与时代的发展是不相适应的。另一方面，由于计算机技术的发展，一些原先比较重要的内容是否可以减去，或降低要求？也就是说，要根据社会发展的要求和科技的进步，对教学内容进行调整，使之与时代同步。