如何培养学生的猜想和直觉能力

近期《中学数学教学参考》刊登了不少较好的文章，特别是，与数学教育总的改革形势相呼 应，其中更包括了一些由身处教学第一线的教师所撰写的颇具新意的文章．例如，本刊第10 期上所发表的张蕴禄同志的文章(以下简称“张文”)，就围绕如何培养学生的猜想和直觉能 力 这一十分重要的问题提出了一个与传统观点很不相同的见解：“能否少问学生几个‘为什么 ’”． 

　　事实上，正如人们现已普遍认识到的，我们应当把培养学生的创新能力作为数学教育的一 个基本目标．但是，如果我们的教师不具有任何的创新意识，而只是束缚于各种传统的观念 或教学模式中，那么，上述的目标自然就不可能顺利地得以实现．(也正是在同样的意义上 ，笔者以为，我们并应充分肯定《中学数学教学参考》在这一方面所发挥的重要的导向作用 ；而且，与全国诸多的同类刊物相比，《中学数学教学参考》更在创新上表现出鲜明的特色 ．对此读者也可作出自己的判断．) 

　　然而，在充分肯定创新精神的同时，笔者以为，我们又应注意作出适度的平衡，特别是应 当防止因“标新立异”而由一个极端走向另一个极端．以下就从这样的角度对如何培养学生 的猜想和直觉能力的问题作出进一步的分析，或者说，即是对“张文”所提出的观点作一必 要的补充或澄清． 

　　首先，笔者以为，这是“张文”的一个基本立足点，即我们应当注意培养(应当指明，在 “张文”原来的意义上，使用“保护”这样一个术语也许是更为恰当的)学生的猜想能力、 想象能力和直觉能力．这一基本主张当然无可非议；而且，笔者也认为学生(至少是一部分 同学)对于某些问题能作出很好的猜测，或者说具有很好的直觉能力；再者，“在数学中(又 )确实有许多‘只可意会、不可言传’的东西，要说明为什么有时是很困难的”．但是，现 在的问题是，我们能否由此而引出这样的结论，即应“少问学生几个‘为什么’”? 

　　我想对于直觉的“易谬性”在此不用作过多的强调；但是，如果不是坚持提出“为什么 ”，学生又怎么可能很好地形成“证明”的意识呢?我们又怎么能够深切地认识到“证明” 的必要性及其积极意义呢? 

　　事实上，在笔者看来，除历史，特别是中国古代数学发展的历史以外，美国自80年代以来 在“问题解决”这一方向上所进行的改革实践也已为上述的结论提供了进一步的 论据．具体地说，在所说的改革实践中人们经常可以看到这样的现象，即学生们(甚至包括 教师)只是满足于用某种方法(包括观察、实验和猜想)求得了问题的解答，却不再对此进行 进一步的思考和研究，甚至未能对所获得结果的正确性作出必要的检验和证明．这种现象当 然引起了人们特别是数学家的极大不安．例如，美国加州大学的伍鸿熙教授就曾强调指出， 对于直觉与非形式的强调是无可非议的，但是，我们并不能以此去取代数学证明，而只能作 为后者的必要补充；而“如果在解决问题的过程中总是满足于不加证明的猜测，他们(指学 生们——注)很快就会忘记在猜测与证明之间的区分”，而后者甚至可以说比根本不知道 如 何去解决问题更糟，因为，“证明正是数学的本质所在”．(详见另文：《关于“大众数 学”的反思》．载：《数学教育的现代发展》．南京：江苏教育出版社，1999) 

　　当然，应当明确的是，“张文”并没有任何否定证明的意思，勿宁说，他所强调的主要是 这样一点：“数学教学应重视数学猜想和数学直觉思维．特别是在猜想阶段，在不知道结论 是什么的阶段，尽量少问学生‘为什么’．”但是，在笔者看来，这事实上即就涉及到了如 下进一步的问题，即应如何去培养学生的猜想和直觉能力?特别是，所说的这两种能力究竟 应被看成是一种天赋，还是有一个后天发展的过程?另外，多问“为什么”是否就会抑制学 生猜想和直觉能力的发展?

　　就前一个问题而言，我想大多数数学工作者，包括数学教师都会由自己的亲身体验对此作 出明确的答复，也即认为应当肯定猜想和直觉能力的发展性和可培养性．例如，对于一个专 业的数学工作者来说，他所具有的数学直觉显然已不再是一种素朴意义上的原始直觉，而是 一种精致化了的直觉，也即是通过多年的学习和研究才逐渐养成的；另外，也正是基于这样 的认识，我们才能谈到“学会猜想”，或如波利亚所提倡的那样，如何帮助学生去“学会合 理的猜想”． 

　　显然，如果承认上述的立场，那么，一个必然的结论就在于，作为一个教师，我们不仅应 当注意“保护”学生已有的猜想能力和直觉能力，而且应更加注意帮助学生学会合理的猜想 方法，并使他们的直觉不断得到发展和趋向精致．

　　进而，笔者认为，必要的反思则又正是培养和发展猜想与直觉能力的重要一环．事实上， 按 照不少著名学者(如皮亚杰)的分析，这正是数学思维的一个重要特点，即其主要地建立在所 谓的“自反抽象”之上(对此应与其他自然科学中的“经验抽象”明确地加以区分)，从而也 就是与反思的活动直接相联系的．特殊地，又由于经常地自问“为什么”正是所说的“反思 活动”的一个基本形式，因此，在这样的意义上，笔者以为，为了很好地培养学生的猜想和 直觉能力，我们就不仅应当经常地问学生“为什么”，而且更应努力促进学生由“被动状态 ”向相应的“自觉状态”的转变，也即由被动地去回答老师关于“为什么”的问题而发展成 为经常地向自己提出“为什么”． 

　　值得提及的是，上述的转变不仅对于培养和发展学生的猜想和直觉能力有着十分重要的意 义，而且对于发展学生的元认知能力也是十分重要的，而后者事实上也应被看成数学教育 乃至一般教育的一个重要目标(对此可参见另文：《对于波利亚的“超越”》，载：《数学 教育的现代发展》，或《认知科学、建构主义与数学教育》．上海：上海教育出版社，1998 )

　　最后，笔者并愿指出这样一点，尽管这“有时是很困难的”，但是，一个好的猜想(或者 说，一个“合理”的猜想)又总是有“道理”可言的——当然，后者并不能简单地被等同于 严格的证明，勿宁说，这主要是指一些启发性的原则．例如，就“张文”中所举出的关于幻 方的例子而言，“为什么先确定中间位置上的数?这一位置又为什么填5?为什么对角线上填 写6和4?”对此我们事实上就都可从启发法的角度说出一定的道理(详见另著：《问题解决 与数学教育》．南京：江苏教育出版社，1994)．另外，按照文中所提及的特殊的“猜测情 境” (图2)，学生们猜测半球的体积为(进而，球的体积为）应当说也是十分自然的，因为，这显 然就是教师所企望的一个结果，而任何有经验的教师又都清楚地知道，学生往往能由自己的 学习经验总结出如下的“启发性原则”：按教师所暗示的思路去寻找解答往往最为有效和最 为可靠． 

　　当然，就后一例子而言，笔者在此所要强调的无非是这样一点：为了培养学生的猜想和直 觉能力，我们不能在“启发”的道路上走得过远．具体地说，与直接出示图2相比，笔者以 为，以下的做法更为恰当，即提出如下的一些问题或建议：“如果你不能解决所提 出的问题，可先解决一个与此有关的问题．你能不能想出一个更容易着手的有关问题?一个 更普遍的问题，一个更特殊的问题?……”从而让学生主动地去联想起已掌握的各种体积计 算 公式，并以此为依据去对新的问题作出猜想．当然，正如人们所熟知的，所说的问题和建议 又正是波利亚所给出的“怎样解题表”的重要组成成分． 

　　另外，更为一般地说，我们在此事实上涉及到了数学方法论的研究对象或主要特征．这就 是指，数学方法论所关注的主要是数学发现、创造过程的“理性重建”，也即是希望能通过 方法论的分析使数学中的发明、创造活动成为“可以理解的”、“可以学到手”和“可以加 以推广应用的”；进而，笔者认为，这又正是我们改进数学教学的一个重要手段，即是应当 以思想方法的分析去带动具体知识内容的教学． 

　　由于数学启发法的核心即是一些定型的问题和建议，因此，在笔者看来，这事实上也就更 为清楚地表明了这样一点：为了培养和发展学生的猜想和直觉能力，我们不仅不应少问、而 是应多问学生几个“为什么”．当然，又如波利亚所指出的，这里的关键即在于“运用得 当”；特别是，正如“张文”中所指出的，我们不应“每一步、每一个问题都问学生几个为 什 么．”另外，更加重要的是，就如上面所提及的，我们又应十分注意帮助学生养成自问和反 思的习惯．