如何使数学教学成为数学活动的教学

如何使数学教学成为数学活动的教学
郭清波
前苏联著名教育家斯托利亚尔在他所著的《数学教育学》一书中指出：“数学教学是数学活

动的教学（思维活动的教学）。”这种提法，是符合数学教育发展要求的，在数学教育改革的

今天，使数学教学成为数学活动的教学非常必要。



所谓数学活动是指把数学教学的积极性概念作为具有一定结构的思维活动的形式和发展来

理解的。按这种解释，数学活动教学所关心的不是活动的结果，而是活动的过程，让不同思

维水平的儿童去研究不同水平的问题，从而发展学生的思维能力，开发智力。



那么，要想使数学教学成为数学活动的教学主要应考虑哪几个问题呢？下面谈谈笔者一些想

法。



一、考虑学生现有的知识结构

知识和思维是互相联系的，在进行某种思维活动的教学之前，首先要考虑学生的现有知识结

构。



什么是知识结构？一般人们认为：在数学中，包括定义、公理、定理、公式、方法等，它们

之间存在的联系以及人们从一定角度出发，用某种观点去描述这种联系和作用，总结规律，

归纳为一个系统，这就是知识结构。在教学中只有了解学生的知识结构，才能进一步了解思

维水平，考虑教新知识基础是否够用，用什么样的教法来完成数学活动的教学。



例如：在讲解一元二次方程[a(x)2＋bx＋c＝0 a≠0]时，讨论它的解，须用到配方法，或因式

分解法等等，那么上课前教师要清楚这些方法学生是否掌握，掌握程度如何，这样，活动教

学才能顺利进行。



二、考虑学生的思维结构

数学教学是数学思维活动的教学，进行数学教学时自然应考虑学生现有的思维活动水平。



心理学早已证明，思维能力及智力品质都随着青少年年龄的递增而发展，学生的思维水平在

不同的年龄阶段上是不相同的。斯托利亚尔在《数学教育学》中介绍了儿童在学习几何、代

数时的五种不同水平，在这五个阶段上，学生掌握知识，思考方式、方法，思维水平都有明

显差异。因此，要使数学教学成为数学活动的教学必须了解学生的思维水平。下面谈谈与学

生思维水平有关的两个问题。



1．中学生思维能力之特点



我们知道，中学生的运算思维能力处于逻辑抽象思维阶段，尽管思维能力的几个方面的发展

有所先后，但总的趋势是一致的。初一学生的运算能力与小学四、五年级有类似之处，处于

形象抽象思维水平；初二与初三学生的运算能力是属于经验型的抽象逻辑思维；高一与高二

学生的运算能力的抽象思维，处在由经验型水平向理论型水平的急剧转化的时期。从概括能

力、空间想象能力、命题能力和推理能力四项指标来看，初二年级是逻辑抽象思维的新的起

步，是中学阶段运算思维的质变时期，是这个阶段的关键时期。高一年级是逻辑抽象思维阶

段中趋于初步定型的时期，高中之后，学生的运算思维走向成熟。总的来说，中学生思维有

如下特点。



首先，整个中学阶段，学生的思维能力得到迅速发展，他们的抽象逻辑思维处于优势地位，

但初中学生的思维和高中学生的思维是不同的。初中学生的思维，抽象逻辑思维虽然开始占

优势，可是在很大程度上还属于经验型，他们的逻辑思维需要感性经验的直接支持。而高中

学生的抽象逻辑思维则属于理论型的，他们已经能够用理论作指导来分析、综合各种事实材

料，从而不断扩大自己的知识领域。也只有在高中学生那里，才开始有可能初步了解对立统

一的辩证思维规律。



其次，初中二年级是中学阶段思维发展的关键期。从初中二年级开始，中学生抽象逻辑思维

开始由经验型水平向理论型水平转化，到高中一、二年级，这种转化初步完成，这意味着他

们的思维趋向成熟。这就要求教师，要适应他们思维发展的飞跃时期来进行适当的思维训练，

使他们的思维能力得到更好的发展。



2．学习数学的几种思维形式



（1）逆向思维。与由条件推知结论的思维过程相反，先给出某个结论或答案，要求使之成

立各种条件。比如说，给一个浓度问题，我们列出一个方程来；反过来，给一个方程，就能

编出一个浓度方面的题目。后者就属于逆向型思维。



（2）造例型思维。某些条件或结论常常要用例子说明它的合理性，也常常要用反例证明其

不合理性。根据要求构造例子，往往是由抽象回到具体，综合运用各种知识的思考过程。例

如：试求其反函数等于自身的函数。



（3）归纳型思维。通过观察，试验，在若干个例子中提出一般规律。



（4）开放型思维。即只给出研究问题的对象或某些条件，至于由此可推知的问题或结论，

由学生自己去探索。比如让学生观察y＝sinx的图象，说出它的主要性质，并逐一加以说明。



了解了学生的思维特点和数学思维的几种主要形式，在教学中，结合教材的特点，运用有效

的教学方法，思维活动的教学定能收到良好效果。



三、考虑教材的逻辑结构

我们现有的中学数学教材内容有的是按直线式排列，有的是按螺旋式排列。



如果进行数学活动的教学，教材的逻辑结构就应有相应的变化。比方说，指数、对数、开方

三种不同形式都可表示为：a、b、N之间的关系a的b次幂等于N，是否可以把它们安排在

一起学习。再比方说，关于一元一次方程应用题，中学课本里有浓度问题、行程问题、工程

问题、等积问题，在讲解时，可用一个方程表示不同问题，使他们得到统一，只是问题形式

不同而已，其方程形式没有什么本质差异，可一次讲完几个问题。而现有中学教材把它们分

开，使学生觉得似乎几种问题毫不相干。因为这些问题具体不同的思维形式，要受小学、初

中和高中学生各阶段思维发展不同特点的制约。



数学思维活动的教学，就是要尽量克服这些制约，使学生在短期内高质量获取知识，大幅度

提高思维能力，完成学习任务。



在考虑教材逻辑结构时，还应明确的一个问题是教材内容的特点，即初等数学有些什么特点，

对它应有一个总的认识。



1．初等数学是相对于抽象程度来说的，其内容方法都比较直观具体，研究的对象大多可以

看得见、摸得着，抽象程度不深，离开现实不远，几乎直接同人们的经验相联系。



2．初等数学是一门综合性数学，它数形并举，内容多种多样，方法应有尽有，自然分成几

个部分，各部分又相互渗透，相互为用。



3．初等数学处于基础地位。因为无论数学多么高深，总离不开四则运算，总要应用等式、

不等式和基本图形分析。初等数学又是整个数学的土壤和源泉，各专业数学领域几乎都是在

这块土壤中发育成长起来的。



4．初等数学的普通教育价值。对中小学生来说，它的智能训练价值远远超过了它的实用价

值。



5．与高等数学相互渗透，相互为用。一方面，由于实践中某些问题的出现，使初等方法被

深入研究和发展成专门的数学分支，另一方面是高等数学中许多专题的初等化、通俗化。



初等数学具有这样的特点，不仅为编写教材提供了依据，同时对数学活动教学的模式来说也

是恰到好处的。比方说，特点1，对于经验材料的数学化有得天独厚的帮助；特点2、3，对

数学标准的逻辑组织化也很适宜；特点4、5，是对理论的应用。由此看来，数学活动教学

对于初等数学再合适不过了。



数学活动教学，不仅考虑初等数学之特点、教材的逻辑结构，而且具体的某段知识也要仔细

研究，不同性质的内容用不同方法去处理，这就是下面要谈的积极的教学方法问题。



四、考虑积极的教学方法

目前关于教学方法的研究呈现出一派兴旺的局面，种类之多、提法之广是历史上少见的。如

目前使用的自学辅导法、读读议议讲讲练练教学法、六单元教学法、五课型教学法、自学议

论引导教学法、启发诱导效果回授教学法、研究法、发现法等等。可以把这些方法归结为一

句话，那就是：积极的教学法。其宗旨是在传授知识的同时，重视发展智力、培养能力。它

们的特点是：充分调动学生的积极性，让学生独立解决一些问题，注意能力的培养。从实践

效果看，这些方法在某个阶段，对某部分学生，结合某部分内容确实有事半功倍功能，但这

些方法哪个都不是万能的，不是教学通法。因为教法要受学生水平的差异，兴趣的不同，教

材内容的变化，教师素质不平衡等各方面条件的限制。



我们主张，采用积极的教学法，因课、因人、因时、因地而异。比方说，对于教材内容多数

是逻辑上分散的数学定义和公理等采用自学辅导法较为适宜；对于教材中的一般公式、定理

等采用问题探索法较好；对于教材中理论性较强的难点，一般采用讲解法较好。教师要灵活

掌握。



数学活动的教学实质上是积极性思维活动的教学，因此，在教学中调动学生积极性极为重要。

一般来说，教学内容的生动性，方法的直观性、趣味性，教师和家长的良好评价，学习成绩

的好坏，都可以推动学生的学习，提高积极性。另外，如课外活动，参观工厂、机房，介绍

数学在各行中的应用，尤其是数学应用在各领域取得重大成果时，能够促进青少年扩大视野，

丰富知识，增进技能，从而发展他们的思维能力，提高学习的积极主动性。也可讲一点数学

史方面的知识，比如我国古代科学家的重大贡献及在世界上的影响，也能激发学生的积极性。



另外，从学习方法上看，随着学科多样化和深刻化，中学生的学习方法比小学生更自觉，更

具有独立性和主动性。因此，在教学中教师就要注意启发学生的积极思维。



究竟怎样启发学生去积极思维呢？方法是多种多样的。比方说，创设问题情境，正确提供直

观材料让学生从具体转到抽象，也可运用已有知识学习新知识，把新旧知识联系起来。还可

以把语言和思维结合起来，达到启发思维的目的。



从上面几个方面来比较，数学活动教学的核心是教学方法，因此教学方法的采用，直接影响

活动教学的效果。



为使数学活动教学收到良好效果，目前没有一个成熟的模式，具体做法也少见。南通市十二

中李庚南在总结过去经验基础上，提出几种有效的方法。



首先，重视结论的探求过程。数学中的结论教师一般不直接给出，而是引导学生运用观察、

实验、练习、归纳等方法发现命题，尔后深入研究探求的过程和论证的方法，进而剖析结论

的内容，举实例将结论内容具体化。



其次，是沟通知识间的内在联系。她认为：数学有着严密的体系，学生揭示数学知识之间纵

横交错的内在联系，是学生主动思维活动的过程，可引导学生按知识的发生、发展、变化关

系或逻辑关系整理出一个单元的知识结构和基本的研究方法，进行知识的引申、串变，提高

学生灵活运用知识的能力。



第三，是注重数学语言的表达。

以上的做法确实收到了良好效果，但要结合自己的教学实际，灵活运用，完成数学活动教学

的任务。