“解构——重构”百数表，深入理解数概念，渗透重要数学思想

作者:北京教育学院 刘晓婷 刘加霞
在数概念的教学中应该教些什么?怎么去教?除了关注培养儿童的数感，还应关注什么?高丽杰老师的“百数表”一课以百数表作为载体，在低年级教学中深入浅出地诠释了数概念学习过程中更丰富的内容。

一般在百数表的教学中，教师把目标定位为认识百数表，发现并描述其中的简单规律。而高老师在设计百以内数的单元教学时把百数表作为一条线索来贯串始终。教师本节课着眼于对数概念的整体把握，巧妙地渗透重要数学思想。为了使学生建立数之间的联系，体验到自然数系的规律性和结构性，初步渗透重要的数学思想方法，教师通过巧妙的设计让学生经历了百数表的“解构——重构”以及“变形”的全过程。

一、初步认识计数系统，渗透位值思想

“数”并非看起来那么简单，各阶段的学习都有其特殊性。一般认为“0”“10”“100”“10000"的认识是自然数教学的关键点，学习数的目的不只是为了单纯地会数、会读、会写。数的复杂性要求儿童还需要学习更丰富的数知识才能真正形成数概念。儿童在数概念学习中，除了计数、读数、写数还应该掌握什么?美国学者富森等人曾指出：数词系统是儿童早期学习数知识的一个最重要的工具[1]。所谓的“数词系统”实质上就是现代通用的“印度——阿拉伯十进位值制计数法”，即强调同一个数字在不同的数位其意义不同，它表示的是不同计数单位的个数。

在前面内容的学习以及本课课前调研中发现，一些儿童对数字在具体数位所表示的含义理解得还不是很清楚。表现在写数时会把“六十七”写成“607”(这与汉语表示数的方法采用的是“乘法分群数系”有关)。在本节课中，教师在“解构——重构”的百数表中引导学生探索其中的规律，同时抓住每一个时机有意识追问数词含义，强化学生对位值制的理解。例如，在课一开始让学生找百数表中含有“8”的数的位置后：

师：这些数里都有8，8表示的意思一样吗?

生：不一样，十位上的8表示8个十，个位上的8表示8个一。

类似的教学情境还出现在“给数找家”这一活动中，如下：

师：你看它们(指58和85)都想住在这个格子里，你觉得谁应该住?

生：我觉得应该是58。因为这一行的十位是5。

师：85说我也有5啊，为什么我就不能住在这一行?

生：因为58的5在十位上，85的5是在个位上。

师：看来，我们在找家的时候还要看清——

生：十位和个位。

通过上述教学行为，学生在教师的追问中不断辨析个位与十位上数字的意义。对书面符号的这种学习和了解过程不仅促进了学生对数的抽象的了解，还使他们认识到数符号在解决问题中的特殊功能，初步感知百数表所呈现的形式与位值制计数法的联系。

人类由具体的事物得到抽象数字的过程是漫长的，抽象的数概念通过具体的计数形式来体现。二个完整的计数系统包括三个要素：简洁的记数符号、进位制以及较高单位的表示方法[2]。对较高单位的表示，在数学发展的早期，很多地方使用的都是简单的累计法。例如古埃及的表示方法：





其特点是每一个较高的单位，都用一种新的符号来表示。通常，计数时有多少单位就要重复多少次，这对于计很大的数就有困难。而位值制的特点是较高单位不需要创设新的符号，一个数字表示什么数值，由它所处的位置决定。现在通行的“印度——阿拉伯数字计数法”是十进位值制计数法。优点是只用10个数字，就可将任何数表示出来。而为了表明数字的位置，必须有零号，否则15、105、150就分不清了。因而，在数概念教学中“0”的认识也是至关重要的。对现代计数系统的位值思想的渗透为儿童后续学习计算并理解计算算理奠定了基础。

二、初步认识数之间的位置关系，渗透坐标思想

美国全国数学教师协会(NCTM,1989)在《学校数学课程与评价标准》[3]中指出，良好的“数感”表现在：能充分了解数的意义，能了解数与数之间的多种关系，可以较快地辨识出数的相对大小，知道数的运算的实际效果，能将数学知识与它们周围环境中常见的物体和情境相联系。近年，美国学者朱莉娅·安吉莱瑞又进一步从培养数感的角度提出：21世纪的生活所必需的技能和理解力之一就是对数字模式和数字关系的辨认，这些模式和关系是对数字进行有效运算的重点[4]。

上面反复提到的数字关系即指“数之间的位置关系”，这种位置关系体现了数之间的相对大小关系和运算关系。因此，在自然数系中，数与数之间的关系、数组与数组之间的关系以及其中蕴涵的运算关系也都是学习数概念的重要方面。那么如何在低年级教学中让儿童认识并把握这种数之间的抽象逻辑关系，让他们对自然数系结构有一定感性的认识?高老师的“百数表”一课就是在“解构——重构”的过程中使得目标得以实现的。

百数表作为本单元教学的一条线索，在本节课并非第一次出现，之前学生曾多次与百数表“打照面儿”。但由于前面呈现的都是完整的百数表，使得学生“只见树木，不见森林”，并不能观察、探究其中的规律、特征、关系。于是，课一开始教师就对百数表作了大胆的“解构”——让百数表以“半遮面”的形式出现：先出现一行偶数，再出现一行奇数，接着分别出现两条对角线上的一部分数。如此引导学生观察，并未用太多的言语就向学生示范了观察的视角与方法，使得学生非常快地认识到了在百数表中包含着具有规律性的特殊数列。同时，对这些数列中数的特征以及数与数之间的关系也很好地得以把握。例如，在观察对角线上数的规律时：

师：(出示：22、33、44、55、66)66的右下方应该书>谁?

生：应该是77、88、99。这些数个位和十位都是一样的，后面的比前面的多1。

师：(出示：28、37、46、55、64)64的左下方应该是多少呢?

生：73，十位多1，个位少1。接下来是82、91。

学生在“解构”的百数表中认识了具有规律性的特殊数列以及数列中的数串特征、数与数之间的关系。此时，教师把完整的百数表呈现出来，让学生进一步感知这些规律、特征、关系存在于百数表中。后续“为数朋友找家”“根据位置猜数”以及“为照片找家”等教学活动是在学生“心中有表”的前提下，对百数表再次“解构——重构”的过程。在此过程中，百数表中一般数之间的关系被揭示出来。上述活动中教师设计了四个梯度：

1．根据显性标志找数的位置。给定了百数表中第一行、第一列的数后，找35的位置、辨析58和85的位置非常容易。在此过程中学生明确了数的位置与数位有关，第一行和第一列的数提供了明确的位置标志。

2．根据隐性标志找数的位置。找46、67的位置时，行列标志被隐去了，这就需要学生应用心中已经建立的百数表的表象帮助自己。当这种表象越来越清晰时，自然而然就逆转了思维，认识到表内的任意一个已知数都可以描述表的行列特征。于是学生发现了非常好的参照物35、58，并指出“46十位是4，应该在35的下一行，46的个位是6，应该在35的右一列”，“6比5大肯定在58的下一行，7比8小应该在58的左一列”。这一过程看似简单，实际上是以百数表的表象在头脑中的良好建构为前提的。

找90的位置把数与数之间的关系进一步扩大化。“85那行的最后一个数是90，因为85+5=90”；“第十列的个位都是0，90放在第九个位置”；“100上面就是90”。百数表中的数不只是某两个之间有关系，数与数之间顺序关系和运算关系普遍存在于整个百数表中。在百数表中通过向下、向上移动一行，对应着任意一个数与“10”相加、减；通过向右、向左移动一列，对应着任意一个数与“1”相加、减。

3．没有标志找数的位置。此时百数表中没有出现任何标志，但在前述铺垫的基础上，为了快速找到56的位置，学生一致选择了行列描述法，有先数行再从左向右数出列的，还有先数出行再从右向左倒数出列的。虽然方法有一定的差别，但此时百数表已经“深人人心”，学生可以灵活应用其中的“隐形”坐标。

4．根据已知数找数组的位置。接下来“给照片找家”的环节在构建的数与数关系的基础上进一步构建数群之间的关系。把“照片”填充完整，并回归到百数表的过程中，学生再次温习了已知数与相邻位置数之间的关系，并抓住照片中的关键数建立数组与百数表中已知数之间的关系。这对于进一步加深对百数表内自然数之间的位置关系的认识具有一定意义，并再次强化了坐标在找位置时的作用。

借助于适当的坐标来确定位置，这个概念古已有之，埃及人和罗马人在测量地形时，希腊人在绘制地图时，都曾利用这个概念。可见，引入坐标就是为了确定位置。小学数学中对坐标的介绍只限于第一象限和整数坐标；初中引入函数概念时，全面介绍直角坐标系，并借以描绘函数图像；到了高中还有仿射坐标系和极坐标系等。尽管坐标系的种类繁多，但在具体问题中，建立合适的坐标系，使得表示简洁，计算简便是十分重要的。坐标概念的引人为解析几何的建立提供了条件，使得变量数学从此登上了历史的舞台。本节课在“给数找家”这一环节渗透坐标的思想，对于学生初步感知平面上一个点的位置必须用两个数组成的有序数组来描述，形成对二维空间的感性认识具有积极意义。

此外，在百数表完全“重构”后，教师通过“百数表变队形”再次“解构”百数表，来让儿童感受分类结果在不同标准下的多样性，感受到不同的分类标准有着不同的意义和作用，使学生的思维得到发散，对数概念有了进一步深入的认识。

三、多模型、多角度，感受无限思想

在课的最后，教师借助变形的百数表——数尺、数轴，进一步让学生体验数之间的顺序及位置关系，并在此基础上帮助学生逐步发展无限的观念。作为半具象图形的数尺、数轴在儿童学习数概念中具有重要意义。

数尺作为百数表的初级变形体现了自然数系的严格顺序，这种严格的顺序即是计数的顺序，数尺向右方的无限延伸可以描述自然数的无限性。而作为百数表高级变形的数轴在对理解自然数系结构方面的意义更大。荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔一再强调：数轴显示了数的存在性及其内部结构，更确切地说，它能使学生得到在给定的范围内进行计算或运算训练的感受[5]。

首先，自然数按照其序关系排成“线性”顺序，这种线性顺序在数轴上描述为“由左向右”(表示“由小到大”)逐步递增。数轴取向右为正方向，向右的无限延伸很好地刻画了自然数的无限性。在高老师的课上，教师问道：“(110、120、130、140、150、160、170这样排下去)能说完吗?”学生异口同声回答“不能”。在这种半具象图形的帮助下，学生的感受是非常深刻的。此外，原点“0”向左预留的空间留给学生无限的遐想，为后续负数的学习做铺垫。

其次，自然数在数轴上是用一些孤立的点来表示的，一方面体现了自然数是离散的，另一方面，数轴的单位长度是任意取定的，但在建立数轴后这一长度就不再变化。如果数轴Jo,点之间的距离发生变化，则是单位长度发生了变化，由于点与数之间的一一对应关系，对应的数并不变。在高老师的课上，给51-59找位置时，就是利用了数轴的这一特性，放大了50到60之间的距离，亦即扩大了单位长度，使学生感受数之间的相对大小关系、位置关系。

一年级小学生最初看到密密麻麻的100个数时，发出了惊讶的感叹：“哇!这么多呀!”在课的最后又看到100个数只不过是数轴上的一小段儿时，更感奇妙。一条线描绘了数不尽的数，这充分体现了人类思维的伟大，数学的神奇。

数概念是人类经过成千上万年才获得的抽象概念，数概念的学习相对而言又是儿童数学能力发展中的一个难点。数与数之间的关系和规律看不见摸不着，它涉及掌握和运用人类发明的抽象的数符号系统，也涉及对数的抽象的逻辑关系的理解。儿童数概念的发展不仅与其今后的数学学习有着直接的关系，而且与思维能力发展有着密切的联系。在儿童运用数概念和数之间的关系时，数学抽象思维能力和推理能力也得到了发展。可以说，儿童对数概念整体的把握是从具体的数学思维向抽象的数学思维转化的标志，同时，在小学阶段学习数概念的经验对于后续学习中发展数学观及数学信念是至关重要的。

参考文献：

[1]周欣．儿童数概念的早期发展[M]上海：华东师范大学出版社，2004．

[2]梁宗巨．世界数学通史[M].辽宁：辽宁教育出版社，2001．

[3]Douglas A．Grouws．Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning[M]．New York：Macmilian Publishing Company，1992．

[4]朱莉娅．安吉莱瑞．如何培养学生的数感[M]徐文彬译．北京：北京师范大学出版社，2007．

[5]弗赖登塔尔．作为教育任务的数学[M]．陈昌平等编译．上海：上海教育出版社，1995．