关于数学课程走向的思考

★此文根据孙晓天教授在江苏省第二届小学数学特级教师论坛所做报告整理成文。



我非常有幸能参加这样一个论坛，虽然不是特别了解这个论坛的宗旨，但是，我感觉是非常有战略眼光的。它的目的，就是把全省已经成为特级教师的各位，进一步拓宽视野，增长见识，不仅是个人的成长，也要向全省的小学数学界辐射。这样一个团队，是会引领江苏省的小学数学改革试验向前推进的。论坛应该大家就一些具体的问题谈自己的看法，我今天居高临下的讲，是不太适合论坛的。

最近，我个人觉得，形势很好。有几个标志：第一个是有史以来，我们开了课程改革经验交流会，就在江苏。第二个是温总理在百忙之中到北京三十五中听了5节课，足见教育问题在高层领导中的地位。第三个是钱学森老先生去世了，这在我们国家是一个大事。钱老去世前的最后一个问题，被称为“钱学森问题”，用一句话概括就是“中国的教育为什么不能培养创新人才？”第四，在课程大会上，教育部副部长陈小娅说：“课程改革开弓没有回头箭。”掷地有声，字字千金。今年《人民教育》第22期《课程改革再出发》一文，是对陈小娅部长讲话的一个回应。另外，还有教育部来了新部长——袁部长。袁部长第一次面对媒体，提出教育均衡化。提教育均衡化不是什么新鲜事，但是他给了教育均衡化以具体解读：教育怎么办？新举措就是教师的流动。家长择校，不就是因为你那个学校好教师多！教师流动了，学校不就均衡了。这是国际上比较通行的，也是比较容易操作的。我们小学没有考试的压力，但是有择校的压力。这是小学面临的相当巨大的问题。这个问题也不仅仅是教师流动就能彻底解决的，但是有这种眼光是很重要的。一个朋友在日本，孩子学有所成后要回国了，想到小学里看看原来的三年级老师，没看着，流动走了。又到初中里想看看原来的老师，也流动走了。不是自己调走的，就是流动走的。全世界很多国家，都是通过教师的流动，达到教育的均衡。我说这个，是说从这里看到希望。教师的流动能得到解决，还有什么不能解决的。

这么多事情联系在一起，我心里有一种踏实的感觉。课程改革7、8年后，课程改革再出发。这一步也是关键的一步，关键在我们能不能解决“钱学森”问题。如果这些成立，我下面讲的，多多少少也就有了依据。《人民教育》22期也发了我的文章《当前数学教育应当关注的几个问题》。今年的《中国教育报》刊登了我的《小学数学要放眼长远，注重长效》，读者反响很好。结合这些想法，我谈谈今天的主题：《关于数学课程走向的思考》，我自己思考有这样四个问题：目标、改革、改变、思考。

先谈一个引子：从华人世界里最有名的数学家丘成桐谈起。丘成桐说：“我喜欢读《史记》， 《史记》像一部美妙动听的歌剧”。我可以大段地背诵：“高山仰止， 景行行止。”这是对孔子的敬仰。“历史是宏观的考察。用宏观的观点考察数学，就会有深刻的思想出来。我常常提出和别人不同的观点，得利于对历史的宏观考察。”

数学家的大气从哪儿来呢，就是有宏观的考察。再看看数学的发展，经历四个高峰：古希腊；牛顿发明微积分；希尔伯特的公理化思潮；计算机以后的数学应用和大规模的综合。我们现在处在第四个阶段，第四个数学高峰的产品如：混沌、孤立子、分形、小波、计算复杂性、费马大定理的证明……，都与社会进步密切相关。比如分形、小波、计算复杂性都是和我们日常的生活联系在一起的，差不多都是宏观的大范围思考的产品。比如“小波”，简单讲就是压缩“曲线”。电子信息的形态都是波形的，如果将曲线进行压缩并减压，就是现在电子信息技术的手段。费马达定理被证明了，在召开发布会时，据说一时出现了票贩子倒卖高价票的现象，这是只有歌星在开演唱会时才会出现的情况。

那么数学的现状怎么样？上海《解放日报》刊登了吴文俊说：“两个不敢说：中国20年来有哪些“叫得响”的数学成果？有没有像华罗庚那样的大师？”2000年数学家大会在中国开，中国有很多人在大会上发言，但是2004年，我们一个发言的也没有。据说，2010年又有了，主要是中国人做了副秘书长。丘成桐说的更直白：“差得还很远！”上海《文汇报》田刚：数学研究不同于体育竞技，不能光靠技巧，更多的应是对数学的兴趣和不懈的毅力。……奥数能培养数学家？……因此，我们不缺技巧，缺少的是宏观与大气，缺少的是想法。

上面仅仅是基于数学分析，如果这些依据是充分的，是不是可以得出这样的结论：技巧、技术我们还行，但却缺少大气，缺少想法，也就是缺少创新意识。到了数学学科里面来，我们就要思考如何解决创新的问题。数学辐射到生活的方方面面，目前基本还停留在第三高峰期之前，微积分啊什么的。发展方向：基本素质，宏观理解，应尽在视野之中。

在我们前进道路上还有困惑：主要来自于这几个方面：1.大众与精英？2.好与差的标准?也就是评价的问题，什么样的教学是好的教学，什么样的教学是好的？3.学科教育、素质教育、创新教育的关系？数学课如果没有给学生留下发现的种子，那就不行。这三种教育是三个教育还是一个教育？4.功利性扭曲着对教育的价值判断。5.数学教育的理论与实践研究均匮乏。我们在编教材时有这种感觉，我们这些年来所积累的教学成果，在编教材时，一本书就编完了。随着新课程的推进，消化得非常快，新的经验又没有积累起来，更没有成熟。考试制度也没有完全建立起来。整体上命题理论没有根本改变。 还是“知识点”、目标教学、长考卷。仍然是经过“大运动量训练”者占便宜。

面对如此环境及困惑，该如何思考数学课程的走向问题？

思考一：目标决定数学课程的走向。

数学总是讲公理。不管干什么，一定要按照那个“理”来干。目标体系在课程纲要中有刻画，但是不管用什么语言来刻画，我认为数学课程目标核心的有三个：一个是为学生继续接受教育做准备。小学教育一定要为初中教育做准备，把“直线”教好，到初中才能学好图形。第二与学生的职业和生活有关，有研究表明，我在大学里学的数学也忘掉70%，对普通劳动者而言，小学里学的数学很多没有印记了。所以，数学教育为生活做准备，更多的要服务于生活。小学学到的估算、近似计算有用，但大部分都消耗掉。中学里学二次方程，但是将曲线去掉的话，真正在生活中用二次方程的也微乎其微。对学生一生有用的东西，在小学特别重要。第三是有助于学生今后成为一个好市民。我们一定要通过学科课程来锤炼人的品德，基础教育17个学科，只有每一个学科都把学生当成一个好人来培养，素质教育才会落实。比如说数学有很多功能是其他课程很难承担的，比如，求实，发现，自信。我觉得，数学课程确实有这样的功能。我们是不是在教学中落实这样的功能？以上三点，当然是所有课程都要注重的目标。如果一定要权衡这三个目标中，哪一个更重要，我觉得第二、第三个一定比第一个重要。我们的学生要有职业，要有自己的生活，要成为一个好人。这一点我多次讲，在美国的数学课程中，要让学生成为一个负责人的选民。日本的教学大纲中，数学课程要有助于学生成为世界的日本人。日本是个岛国，只有世界眼光，才能更好生存。我们现在三位一体目标，其实还是很抽象的。情感态度目标以前讲培养社会主义接班人，还是不够具体。关注职业、关注生活、关注教育这是情感态度价值观目标的重点。

上面和数学还没什么最直接联系，更进一步，第一让数学积淀成素养（而不仅仅是考试的利器），不能一学就忘。第二让学生、公众接受和喜欢数学。现在的课程学生接受了，家长、社会还很难说。第三让学校数学插上“发现”的翅膀。发现和别的事不一样，体育明星的子女搞体育，艺术家的子女都是艺术家，但是，发明家的子女差不多都不是发明家，比如爱迪生，爱因斯坦。科学研究研究表明，脑子里没有那一块基因是和创造有关的。这和教育有关。学校教育有责任埋下发现的种子。“钱学森问题”其实就是对教育的批评。

下一步怎么办呢？第一，学现实的、有用的数学。数学应该和现实生活联系在一起。第二开始尝试抽象的、理论的数学。第三，逐步体会数学的思想、方法，在此基础上发展有中国特色的数学课程！

思考二：改革决定数学课程的走向。

课程改革由政府主导， 体现了宏观与大气的时代要求，指出了课程的科学、和谐、可持续发展之路。课程改革和经济改革不一样，经济改革是自下而上，农民把土地承包成功了，产量上去了，农民收入增加了，然后，国家再推行联产承包制。经济体制改革差不多每个环节都是自下而上的，联产承包责任制，金融市场的改革，贸易体系的改革，商业制度的改革，都是下面干了，国家一看，行了，然后成为国家的政策。而教育改革是自上而下的，因为教育面临的很多问题，老百姓自己是看不懂的。我们也是孩子的家长，考试总是第一位的，你总得考个好大学啊，找个好工作啊，老百姓不就想这点事啊。但是如果国家也这么想的话，整天想着吃饱饭，那钱学森问题就解决不了了，国家也成不了强国。强国梦就强不了。北京、上海、无锡这些城市，老百姓和国外也差不了多少，但是还有差不多有好几亿的贫困人民，到西北、西南看一看，还看到实实在在的落后。要成为大国，强国，最需要自己的知识产权。靠什么？靠教育。教育要帮助我们插上发现创造的翅膀。政府捏课程改革的脉搏捏得最好，每一位老师所要想的就是按照自己的位置做好自己的事。课程改革没有什么大问题，不能太听老百姓的。比如服务行业，办成人民满意是可以的，但是办人民满意的教育难度很大。国家的政策体现了宏观和大气的时代要求，也体现的课程的国情、科学。国家课程改革纲要有两三万字，要“挤水”的话，其中有两句话是挤不掉的，一是“创新意识和实践能力”以前从没有提；二是培养学生终生学习的愿望，也就是可持续发展，科学发展。教育的可持续发展，用一句话就是终生学习，一生有学习的愿望、能力。如果把人的可持续发展落实到位，人的、经济的、环境的可持续发展就能到位。

《数学课程标准》给出了放眼长远、注重长效的课程方向。无论是试验稿，还是正在修订的实验稿，坚决走数学课程的可持续发展之路。改革决定了数学课程的发展方向。开弓没有回头路，课程改革再出发，课程标准没有问题，是怎么变得更好的问题。方向没有问题，从学生出发没问题，关注实践没问题。就是摔跟斗，也要往前摔。有争论，不要紧。最终大家达成共识。“美国数学战争”，战到专门到中国来考证中国是怎么回事。“日本数学教育大争论”都争论到国际的舞台，开国际会议，日本的发言人，张三和李四都可能争辩。日本的教材中，圆周率大约是3，连3.14都没有。我感觉差0.14，差距很大。而他们说，生活中有多少人用圆周率。我说这个的意思是，是想说争论很正常，中国和外国比较起来，有些争论简直就是毛毛雨。争论是好事，可以使很多问题一下子变得清楚了。当然，改革不是无条件服从。每一场争论，都会让我们的头脑变得更加清楚。

大家都有这样的共识：数学应当包含质疑、思考。数学应该有趣，有用，贴近生活。这些都没问题。几乎每一个数学家批评数学时都提到数学应当跟上时代，数学不只是“考试数学”。改革兼顾了公民的数学素质与精英人才的培养、熊掌与鱼能兼得。现在已经证明了，选几个苗子去培养来搞创新是行不通的，少年科技大学很多现在找不到了，很多改行了，还有些神经。袁隆平现在是一等一的科学家，他的实验简单讲，就是种一大片水稻，然后看这里面有那么几株特别好的，在进行杂交，然后再种一大片。现在我们的考试教育把一把批孩子都按住了。一个科学家批评，数学是让人“开窍”的，现在是让人“闭窍”。所以，从学生出发，面对每一个孩子，给他们发现的可能，就是培养超级水稻。我们一定要有充分的自信，当国家需要有人来发明创造的时候，有人站起来。不能因为大众教育，精英就冒不出来。土壤越肥沃就越有希望。奥林匹克金牌如探囊之物，拿个银牌都很自卑，可是，老外拿银牌就乐坏了。如果这样下去坚持那么几个周期，我们就会人才辈出，才会成为大国。

我认为，改革有几个切入点：第一，重建数学教学模式；第二重新认识数学能力；第三重造数学问题；第四，重树数学观和教学观。

改革的切入点之一：重建数学教学模式。传统的五环节数学教学模式（复习——导入——新授——巩固——作业）是凯洛夫的，应该发展、改造。现在从小学到大学都还是这样。数学教育家弗莱登塔尔写了两本书，一本是《作为教学内容的数学》，老师们写文章引用率很高；一本是《数学教育反思》。两本书思路大体差不多。他的主要观点就是，数学教学目标一个叫精神实体，一个叫实体。比如，长度，就是一个实体。长度还有一个精神实体，就是，为什么要学习长度，长度是什么，长度在哪里，长度怎么表现，平地有长度，山坡还有长度，平面有长度，球面还有长度，长度还可以叠加，把这些事情想清楚了，就是从为什么开始，一步一步走向抽象长度的过程，叫做精神实体。他的结论：精神实体比实体重要。你告诉学生什么叫长度，怎么量长度，你的教学基本是有效的。如果你引导学生从为什么开始，沿着探索的过程，发现长度，哪怕学生不知道长度是什么事，你成功了一大半。我为什么要讲这个，弗莱登塔尔的观点和凯洛夫的正好相反。凯洛夫是不讲精神实体的，要把长度讲扎实，你就按照我的五个步骤就好了。弗莱登塔尔的意思是，这样不行，你一定得告诉我长度在哪儿，长度怎么表现的，让学生自己发现，一步一步从现实到抽象。这是两种截然不同的教学模式。我觉得，弗莱登塔尔讲得非常有道理，真正这么做会给学生埋下发现的种子。如果长度这么研究、面积这么研究，体积这么研究，你就是不讲怎么运算，长时期的积淀，会形成一种东西，用一句话表示，那就是创新意识。当然，在操作中会遇到很多问题，中国有中国的传统，中国人是讲究目标和计划的，完全让学生去发现、探索，时间会拉得很长，空间也会拓展得很窄。你可以这么弄，但天天这么做不行。而在荷兰可以天天这么去做，荷兰也就因此而强大，我国的综合实力排第六，荷兰也就一千六百万人，排第十。我们要学，要融合在一起。我们现在通过实践，实际上逐步走出了一条有中国特色、既兼顾传统又面向未来的新的教学模式。我们现在的复习是和提问题联系在一起的。复习+质疑。这次修订的新课程标准，将发现问题和提出问题，分析问题和解决问题作为两个重要能力。具体模式为：复习+质疑；导入+创设情景；讲授+师生互动；巩固+反思；作业+主动学习。这个模式和传统模式的最大区别就是屏蔽了灌输式教学。总的说来是将探究与发现贯穿始终。质疑是探索，创设情景是探索，师生互动是探索，反思是探索，主动学习是探索。

改革的切入点之二：重新认识数学能力。传统的三大能力中，逻辑思维能力是核心。传统的三大能力的来源：前苏联的克鲁切茨基：（1）把数学材料形式化；（2）概括数学材料发现共同点；（3）运用数学符号进行运算；（4）连贯而有节奏的逻辑推理；（5）缩短推理结构进行简洁推理；（6）逆向思维能力；（7）思维的灵活性；（8）数字记忆；（9）空间概念。（“形式化、抽象化）这是苏联的。其它的能力刻画，如美国的问题解决；推理与证明；数学交流；数学知识的连接（关联、综合）。我国呢，《标准》中义务教育：提出问题、发现问题的能力；分析问题、解决问题的能力。高中：1、数学感觉与判断。2、数据收集与分析。3 几何直观与空间想象。4、数学表示与数学建模。5、归纳猜想与合情推理。6、逻辑思考与演绎证明。7、数学联结与数学洞察。8、数学计算与算法设计。9、数学语言与数学交流。10、 理性思维与体系构建。所有的能力都可以在小学找到影子，培养都应从这里开始。

改革的切入点之三：改造数学问题。第一，“对、快、准”需科学考量。一个孩子在北大附小，练习册上做每分钟60题口算，从一年级到六年级都是这样。这不是教材配的，不知道是什么人编的，家长都去买。改造数学问题，就是要对一些传统的问题给以思考，寻求科学依据。我们也可以通过自己的实践来给量进行界定。第二，应用题与解决问题不是一回事。应用题的类型是以前的教学大纲提到的。我们传统的教科书中的应用题，不是应用，是练习的题型，因为所有的题型在现实生活中都不存在。像相声里批评的出水管的问题，生活中是很多的，而相遇问题等都是编出来的，训练学生的机智程度和综合解决问题的能力。而路程问题现在被转化成什么呢，现在有个词叫“变式”，转换成了研究三者之间的关系。因此，依依不舍的应用题一定要了解它的来源，也不一定是13类，也有人说11类。有一点是肯定的，都是学完了以后用的。比如路程问题，先学，学完了再用。它和解决问题不是一回事。解决问题是从学习开始的，没有现成的结果供你运用，为了解决问题而学，在学的过程中发现一种模式，再去运用。而伴随着应用而开始的学习，现在的小学数学学习基本都是从应用开始的。每一个新的概念都是从解决问题开始的，从运用开始的。第三，化归与变式不是一切。第四，开放、情景、应用并重是一个努力方向。

改革的切入点之四：重树基于“全面知识”的数学观和教学观。从“双基”：对、快、准到“四基”：基础知识、基本技能、基本思想方法、基本活动经验。

如果说修订的标准有什么大变化，只说一点，肯定就是走向“四基”的新的时代。初衷是这样的，现在三位一体的目标中，过程与方法也叫做解决问题，但是在课程标准的实验稿中，已经把提出问题、解决问题写到课标里了。但是，老师是不大看课程标准的，老师关心的还是双基。一旦学生掌握有含糊了，还是注重双基。因此，这次修订时，把数学思想方法等内容从原来的双基里面拿出来了，拿出来的这些其实还是和过程有关系的。课程标准老的稿子，提出问题，解决问题，建立模型，大家还是认为是双基。因此，这次把基本思想方法、基本活动经验单列。我认为是非常有道理的，我们为什么要搞改革呢？我认为是要收获创新意识和实践能力，收获终生学习的愿望和能力。如果“又对、又快、又准”能够收获创新，能够收获实践能力的话，我们就什么都不干了，专门抓那个，既有经验，又有积累，学生能做冷板凳，家长又热心。多简单啊！事实并不是这么回事，一定要有过程和方法，有思想和经验。一定要把基本思想方法、基本活动经验放到台面上来，和那个基础知识、基本技能平起平坐，才能够落实创新意识和实践能力的培养。为什么？作为课程内容的数学包括：隐性知识和显性知识。从几个角度理解：1.显性知识：能够言传的知识；隐性知识：所知比能言多，只可意会。2.事实性知识、原理性知识是显性的；理解性的知识、如“数感”；与人及其社会关系有关的知识，如价值观，是隐性的。相互关系是：显性：冰山的尖端；隐性：隐藏在冰山下的部分（90%以上）；隐性是显性的基础，既可以辅助和向导，也可以干扰和冲突。如果我们不盯那个90%，只盯那个10%，10%将不复存在。为什么我们花了很多时间，学生不喜欢数学，我们不能产生大数学家，上了大学不报数学专业。方程的概念就是显性的，为什么学习方程？在现实生活中方程藏在哪里呢？我们怎么能够发现它呢？怎么用方程解决问题呢？方程可以解决什么问题呢？我说的这个从现实出发到得出方程的过程，蕴含着思想，在这过程中，从一个未知的需要解决的问题到方程的模型，就是一个发现、探索、刻画的过程，这个过程中运用的以及在这个过程中积淀下来的，也就是隐性知识。隐性知识的特征：形式多样：诀窍、技巧、直觉、思维、意识、约定俗成的默契；信念、价值取向…载体的非技术性：大脑，氛围…内容不确定性：没有形成完整体系，不能精确阐述流通困难：灌输不进去，只能靠体验、领悟、传递、转化……。从隐性走向显性是不可改变的教学走向。

重新审视“教什么”“怎么教”“教的怎么样”？“学什么”“怎么学”“学得怎么样”？

能力是隐性知识的“外显” ；素质是隐性知识的内化与升华；只有显性知识的人可能会成书呆子；只注重显性知识的培养是产生“高分低能”的重要原因；要树立基于“全面知识”的教学观，把隐性知识纳入教学范畴。

知道隐性知识的存在，把握隐性知识的要点，注重显性知识与隐性知识的结合，是当前转变教学模式、教学观念、教学行为的基本点。