数学视界：数学教育的应有视角

数学视界：数学教育的应有视角
数学视界指从数学的角度观察、分析、思考数学教学问题的意识与视野。为什么提这样的话题呢?让我们从三角形稳定性的教学尴尬说起。

教学三角形的稳定性，典型的教法莫过于，在学生分别拉动三角形、四边形木条框架的基础上，得出三角形具有不易变形的特点。大家都是这样教的，似乎天经地义。但料想不到的是，调皮的学生无意中把原先是四边形的木条框架拉成了三角形(如图1)，用这样的三角形框架，一拉就变形了！就这样，天经地义的教法轰然倒塌了。



教学尴尬逼出了这样的新教法：请学生用固定长度的小棒尽可能摆出不同形状的三角形和四边形。在比较后，学生发现3根小棒的长度固定了，无论怎样想方设法，摆出的三角形都一样；而4根小棒的长度虽然也固定了，但摆出的四边形可以有不同的形状

(如图2、图3、图4)，不同的大小。由此，教师引导学生得出三角形具有稳定性的特征。

由于客观的原因，很多小学数学教师都没有数学专业(或数学教育专业)的学习经历，其自身的数学素养先天不足。但三角形的稳定性并不是高深的数学知识，为什么绝大多数教师还只关注三角形稳定性的生活应用，而忘却其数学的本来意义呢?在百度里输入“三角形稳定性”搜索，“百度百科”就会完整地呈现其数学意义。换言之，教师如果想要知晓三角形稳定性的数学意义，并不是什么难事!层层剖析，数学课流失了数学味的个中原因越来越清晰了，那就是多数教师缺失清晰的从数学的角度考量教学的意识与视野！也就是说，数学教学既需要上位的教育学、心理学一般教育理论的指导，更应该寻求以数学视野为基点的各种理性认识的指导。

一、回归数学科学本体，体会所教内容的数学本质

1．自觉审视数学毒义

面积意义的教学中，很多教师组织学生比较两个物体(平面图形)表面的大小，在学生体会到物体表面(平面图形)有大有小之后，揭示面积的概念。为什么这么教?皆因“物体表面或平面图形的大小叫面积”，其中的“大小”被直白地理解为“有大有小”。

数学虽然是人类思维的结晶，但其表达与交流必须使用语言。鉴于小学生的年龄特点，小学数学的表达与交流更多地使用了词语这种语言形式——而且是与日常生活无异的词语形式。但问题是，生活中的“大小”一词和数学中的“大小”一词所表达的意义相同吗?面积的严密定义是“一些集合类上定义的有限可加、运动不变、单位正方形面积为1的集合函数”。通过这个定义，我们大致可以理解——面积指的是各个物体表面(各个图形)所固有的、属于它们自身的大小量值，其中的“大小”不是指有的大、有的小，而是指物体(平面图形)定了，它的表面可以量化的多少程度，而且是运动不变、确定的，也正因为如此，它可以测量、描述和比较，可以用单位正方形的割补、拼接去度量复杂图形的面积。

由此及彼，我们还可以看到很多这样的不同。如，生活中的“或”一般指两者中发生一个，而且只发生一个的，隋况；而数学中的“或”可以包括两者同时发生的情况。生活中的“稳定”理解为“稳固”不无道理，而数学中的“稳定”指的是“形状与大小的确定”……这些例子都告诉我们，小学数学常常借用一些日常生活词语来表征数学概念，但关键词语所表达的数学意义和生活意义又是不相同的。如果习惯性地、直白地从生活意义去解读这些词语，所教数学概念的内涵就发生了偏差。这样，数学课丧失数学昧也就成了必然的事情。而如果教师能有意识地让这些词语回归数学科学的本体，考究这些关键词语的数学意义，并适当利用这些词语的生活意义，那么设计的教学就完全有可能达到一种完美：既充分利用了学生的生活经验，又超越了经验层面，提升为初步理性的认识。

2．努力探询本原意义

本原是哲学认识论方面的一个术语，是指一切事物的最初根源或构成世界的最根本实体。借用此术语，更想彰显的是那种刨根究底的求索精神。数学知识的本原意义，是教学范畴中的“本原”，意味着思索什么是某个数学知识最为根本、本质的认知要点，并把这些用生动的语言、形象的事例让学生感悟到，使得数学学习浅显中见深刻，具体中现理性，而不是指探究数学科学体系中那个逻辑的原点。

认识平行的教学一般都是分两个层次，首先认识平行的意义，然后学习画平行线。画平行线的技能，往往是教师在黑板上示范，学生在作业本上模仿。为什么这样?因为大多数教师都觉得画的技能似乎和平行线的意义不相千，用两把尺子组合起来操作对学生来说太艰难了。考究画平行线的技能，可以发现因为平行涉及的是两条直线间的关系，肯定要画两条直线，而要画两条直线，必须要移动尺子。怎样移动才能保证移动前后的“直线”是平行的呢?那只有平移!尺子要实现平移，徒手移还真有难度，最好有“轨道”。把这个原理弄清楚了，画平行线的技能就转化成了怎样给移动的三角尺“造”轨道。为此，教师可以在认识平行意义后安排的练习中设计“在旋转、平移前后的图形中找平行线”的练习，打通图形的平移和直线(线段)的平行间的关系，让学生感悟画平行线的要义。而要“造”轨道，学生演绎的方法就丰富了：可以再用一把尺子，可以沿着练习本的边缘移动，可以沿着练习本上固有的线段移动，可以靠着数学书的书脊移动等。因而，画平行线技能的习得就不再是模仿和机械训练的过程，而是理解的触角不断扩展的过程。

敞亮数学课的数学味，不能硬生生地直接阐释数学的本质意义，以致数学的艰涩和抽象把学生搞得晕头转向，这是没有出路的做法。“敞亮”，必须兼顾教学的可能性，应该意味着还是这些知识，但更多地层示了知识间的内在联系，引导学生的认识更趋灵活；意味着还是这些知识，但更多地关注了其背后的思想观念，引导学生的认识更趋深刻；意味着还是这些知识，但更多地呈现了其发生、发展的过程，引导学生更深切地体会到数学的本质……于是，留给学生的认识便是一个个胚胎”，虽然是初级的，但具备了日后生长出各种高层次理性认识的多个生长点。

二、依托数学历史背景，把握认识跃升的关键节点

《认识负数》的教学，教师常常注意从生活中多样的相反意义的量入手，引导学生把其中的一个量表示为正数，另一个量表示为负数。以致课末的总结中，多数学生认为“负数就是写有负号的数”。

《数学课程标准》中《认识负数》的教学目标是“在熟悉的生活情境中，了解负数的意义”。了解，即要求学习者在具体事例中知道或能举例说明对象的有关特征，而学生只认为有负号的数就是负数，显然并没有在具体形象的层面上体会到负数概念的基本内涵。教学已经运用了具体生活情境了，为什么学生对负数的意义还一知半解呢?原来，经历了不等于就获得体验。

打开数学史，料想不到的是，人类认识负数颇费周折。早在数学的萌芽时期，人类对于负数的感知和使用就比较迟缓。这其中的原因不仅在于自然数、分数的认识来自人类丰富的数数、分配实物和测量的实践活动，更重要的是这些数都有实物为例，而负数不能“可视”，虽也有负债、欠账之说，但却不能具体指物为负。更有甚者，数学史上把负数称为“荒谬的数”、“虚假的数”的例子不在少数，其中有些也是当时的大数学家。例如帕斯卡认为，从0减去4纯粹是胡说；笛卡尔认为，负数是“不合理的数”；弗伦德认为，”只有那些喜欢信口开河、厌恶严肃思维的人”才“谈论比没有还要小的数”，等等。

斯蒂菲尔在《整数算术》中称从零中减去一个大于零的数得到的数“小于一无所有”，是“荒谬的数”。他认为负数荒谬的原因是“小于一无所有”。换言之，其内在的逻辑是1表示1件物体，2表示2件物体……o表示什么都没有，“什么都没有”就到尽头了，

而负数比零还要小，比“什么都没有”还要少，这怎么可能呢?可见，构建负数的理性认识，困难之处不在于概念本身的高度抽象性，而在于人怎么跨越和扩展自己的已有认识——怎么把负数的意义和0的认识沟通起来!

于是，在教学中就有设计温度计刻度的环节。如某教师是这样教学的：首先，激起学生的认知：中突，提供0℃的刻度在最下面的温度计，问：“能在上面找到零下4℃吗?”然后，在练习纸上提供了没有刻度的温度计模型，请学生自己设计刻度，要求既有零上2℃的刻度，又有零下4℃的刻度。这个安排再现了历史上数学家们琢磨零和负数关系的历史经典，直面了负数认识的认知障碍，借助学生熟悉的生活题材，引导学生思考：0下面还能有数吗?在设计温度计刻度后的交流中，通过相互补充，学生明白了O℃并不是表示没有温度，而是人类表示寒冷程度的一种规定，即水要结成冰时的温度约定为O℃。而比这个温度还要冷，就是零下的温度，比这个温度暖和的，就是零上的温度。由此，学生感悟到正数、负数是和大家约定的一个标准比出来的，比这个标准高的、重的、多的、好的等就是正数，而比这个标准低的、轻的、少的、差的等就是负数。

实际上，气温题材所蕴藏的数学性是固有的，用的教师是否具有发现的眼光才是关键。很多教师在认识负数的教学中也运用了数学史，但都只关注哪个国家什么人物什么时候得出某个结论的史实，并不关注历史事件背后人的思维过程。我们现在所接触到的数学体系是舍弃了历史发展过程的公理化体系，而一个概念往往是人类干百年思维历程的结晶，割裂了其发生、发展的过程，既很难把握这个概念的实质，又很难把握人类认识提升的阶段性。因此，英国数学家阿蒂亚说，一个新思想最有意义的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最简单的例子、最原始的定义，以及最初的一些结果。波利亚指出：“只有理解人类如何获得某些事实或概念的知识，我们才能对人类的孩子应该如何获得这样的知识作出更好的判断。”这样精辟的警句启示我们，要研读数学史，把握人类认识提升的关键节点，并通过合适的方式在课堂上再现那些历史的经典瞬间，引导学生在所学知识的关键处实现跨越，这样课堂弥漫着数学味就是自然的事情。

三、倚重数学教育心理，触及所教知识的思维方式

敞亮数学课的数学昧，还意味着应该让学生触及所学知识的数学思维方式。

《用字母表示数》的教学，有很多教师这样教学(以苏教版教材为例)：摆1个三角形用3根小棒，摆2个三角形用6根小棒，摆3个三角形、4个三角形呢?5个三角形呢，摆n个三角形呢?进而引出用字母表示的表达式“n×3”。课堂上很顺利，学生没有什么不懂的。但是学生既没搞清楚为什么要用“n×3”的形式表示最后的结果，也没有体会到用字母表示的必要性。课后，我们做了个测试，请学生解答“四(1)班有a人，四(2)班比四(1)班多6人，四(2)班有多少人”，结果有95％以上的学生认为，这题缺少条件，不能解答!

为什么会出现这种结果?因为教学没有触及所教内容的根本，课堂的“顺利”只是假象。我们不妨回到用小棒摆三角形的那个例子。如果按照算术的方式，摆三角形用的小棒根数分别是3根、6根、9根、12根、15根、18根……观察这个结果，如果用字母表示它们，更容易想到的是摆三角形用了。根小棒。虽然这样的表示方式本身并没有错，但丢失了固有的三角形个数和摆小棒根数间的关系。换言之，用字母表示数，不仅要概括地表示出摆三角形所用小棒根数的所有情况，而且要把不同数量间的关系呈现清楚。学习代数需要将原先算术计算中的那个算式作为思考的对象，这种转变是有重要意义的。

更深入地分析，数学教育心理告诉我们，数学概念可以区分为过程和对象两个相互依赖的侧面，用字母表示数就是无数次解决特定问题的思维由过程向对象凝聚的结晶；像“四(1)班有30人；四(2)班有32人”，这个问题的过程属性侧重于表达“由两个班的人数可以得到两班的人数和”的计算过程，关注“30+32=62”。但这样的加法算式只能表示这个特定情境中的特定问题，不具有一般性。当学生积累了相当的学习经验后，就可以引导他们不仅仅关注一次次计算的过程，而把算法的本身作为数学思考的对象，关注“30+32”，由此才可能从特殊情况概括出一般意义：两个班的人数不管有怎样的变化，一共有“a+b”人。从这里，我们可以清晰地体会到由过程到对象，不是简单的文字上的更替，而是思维方式上的提升。由于小学生在学习用字母表示数之前，主要是过程层面的思维方式，形成的思维定式是列出算式就要算出确定的结果。这种思维方式对

将一个代数式作为思考的对象，是不能接受的，因为他们总觉得“这样还没有算完”。而对象层面的思维方式偏偏更多地关注算法本身，结果是次要的。因而，学生学习用字母表示数的难点是：既要体会用字母表示数的概括性，更要体会含有字母的式子也能看做是最后的结果，是抽象性的关系和确定性的结果的统一体。至此，我们也就能完全理解那95％以上学生的问题出在哪里了，他们不能理解四(2)班人数就是“(a+6)”人，非

要计算出确定的结果来。有些学生虽然没有直接作出“不能解答”的应答，写了“a+6=”，看似只是多写了“=”，但反映出其心理上还是希望计算出结果，并没有将算法本身作为思维对象。

为了引导学生感悟、体会这样的思维方式，无需对常规的教学大动千戈，而只需有意识地处理好这些细节：“摆两个三角形用几根小棒?”在学生回答“2×3=6(根)”后，引导学生观察算式2x3，思考“这个算式告诉我们是怎样求摆三角形的小棒根数的”，并说出关系式，然后再跟进，启发：“看到算式2×3，老师估计每位同学都知道最后的结果是6。在今天的数学课上，我们直接用这样的算式表示最后的结果，这样既把求摆三角形用的小棒根数的过程表达清楚了，也不影响我们知道最后的结果。”

数学学习中每一个新的领域，都意味着一种新的思维方式；不同学生在学习过程中每一种相同的典型错误都意味着共同的心智障碍。这些都可以从数学教育心理学中得到具体的阐释和深入的剖析。虽然数学教育心理并不涉及数学知识的本质意义，但其聚焦于数学学习中学生的内部认知过程，呈现出的理性规律能确保教学走在数学思维提升的高速路上。

四、汲取数学哲学精华，呈现良好的数学学科形象

有位学生看到数学教材中写的地球自转速度与科学课上教师讲的完全一样，不由得叫了起来：“数学书上写的居然和事实一样啊I原来还以为数学书上写的事情都是假的呢。”“童言无忌”的笑话说明，在学生看来数学往往是成人为他们准备的陷阱，并不美好。数学昧的核心自然是数学，但绝对不是纯粹的数学知识与技能，而是富有文化色彩的带有鲜明数学特性的整体感受。教师不能不关注数学作为一个整体留置在学生内心世界里的感受。

教学《乘法的初步认识》时，教师往往先引导学生认识相同加数的加法，然后指出像这样的算式还可以写成乘法。这样教，是因为教师潜意识地认为从加法到乘法就是这样约定的，也没有什么产生、发展的过程可言。果真如此吗?请看某教师《乘法的初步认识》的教学片段。

课前，教师组织学生交流“看着圆，你想到了什么”。当学生提出多样的答案后，教师问：“用什么符号或方法来说明我们还有很多想法?”学生提出了在想法后面加“……”、写“等等”等方法。课始，教师组织学生先认识相同加数的加法，然后列式解决“一张电脑桌上放2台电脑，8张桌子上一共有多少台电脑”的问题。很多学生一边数2的个数，一边写算式，写完了加法算式。教师引导“加数的个数一多，这样的加法算式写起来就麻烦了，能把这些算式写简单些吗?”在课前激起的经验基础上，学生想到了以下方法：2+2+2+2+2+2+2+2，2+2……等等。

接着，教师组织学生把这些写法和原先的算式对比，并思考：“虽然写法简单了，但没有把算式所有的意思表示出来，还有什么不清楚之处呢?”学生认为，写法是简单了，但不知道到底是几个2相加。于是，又有了以下典型的新写法：



在此基础上，教师再引导学生思考：这里的2能写成3或4吗?这里的8能写成10或15吗?这里的2最少写几个?8呢?学生交流后，认为最少要写一个2，一个8。有学生提出“2+8个”的写法。

学生认为这样能表示“是2在加，一共有8个”。在此基础上，教师引导学生学习规范的乘法写法和各部分名称。

这样教，虽然也没有涉及额外的数学知识，但把枯燥的数学约定变得生动起来。实际上，数学规定的源头都富有趣味，并不艰涩抽象、令人费解，如：古罗马执行死刑都是在2月份，所以2月份的天数少一些；中世纪的酒商在售出酒后，就用横线标出酒桶里的存酒，而当桶里的酒又增加时，便用竖线条把画的横线划掉，于是就出现了表示减少的“-”和用来表示增加的“+”；厘米的英文单词是centimeter，取它的缩写就是“cm”……这些数学发展中的趣事展示了数学发展本源那温情的一面，让学生感受到了数学创生的平常，破除了数学的神秘感，让数学由“可恶”变得“可爱”起来，教学由此穿透了知识与技能的层面，直抵学生的情感、价值观领域，让学生初步获得良好的学科感受，谁能说这不是浓郁的数学味呢?

爱因斯坦说：“你能不能观察到眼前的现象，不仅仅取决于你的肉眼，还要取决于你用什么样的思维方式，思维决定你到底能观察到什么。”不站在数学的山头，就眺望不到那些特有的数学风景，体验不到那些特有的数学韵味。本文的中心词是“数学”，但并不在于片面凸显数学之于数学教学的意义。数学如果脱离了教育的范畴，那对于儿童来说，就是一场学习的灾难。小学生学的只能是“儿童数学”，对数学科学进行儿童化的改造是义无反顾的，而改造后的教学过程中若丢失了太多的数学意义，又将丧失数学学科在整个课程体系中的价值。因此，本文倡导的是从数学的角度考量教学的那种思维方式以及种种可能的策略。设计和考量教学的逻辑起点是数学，但又都指向教育，以达成数学与教育间的和谐，这才是根本。