解题后还应反思些什么？【高中数学论文】

解题后还应反思些什么？

江苏省宿迁市宿城区德扬中学 王志勇 0527-4939698

高考是以知识为载体、方法为依托、能力为目标来进行考查的，命题时则是以能力为立意、以方法和知识为素材来进行命题设计的。纵观这几年的高考试卷中的一 些题目，背景新颖、能力要求高、内在联系密切、思维方法灵活。这正体现了目前新课程理念标准，注重知识的形成过程，关注学生获取知识的过程，不断地培养学生创新精神和实践能力。那么，以前的那种“题海战术”在高考中已不适用了，在数学教学中，如何引导学生摆脱这种困境，尽快提高学生的数学素质，不断培养学生的数学能力呢？我个人认为：学生做完一 道题后应学会反思。
本文就解题后还应思考些什么谈自己的一 点看法和体会：
1、反思解题本身是否正确
由于在解题的过程中，可能会出现这样或那样的错误，因此在解完一 道题后就很有必要进行审查自己的解题是否混淆了概念，是否忽视了隐含条件，是否特殊代替一 般，是否忽视特例，逻辑上是否有问题，运算是否正确，题目本身是否有误等。这样做是为了保证解题无误，这是解题后最基本的要求。教学中应有意识地选用一 些错解或错题，进行解题后反思，使学生真正认实到解题后思考的重要性。
例题1：已知：a、b、c、d∈R，且a2 + b2 = 1，c2 + d2 = 1，求证：|ac+bd| ≤1
证法一 ：∵ a、b、c、d∈R，
∴ ac ≤ ； bd ≤
∴ ac + b d ≤ + = = 1
∴ |ac+bd| ≤ 1。
解题后引导学生反思：为什么要这样解？这样解正确吗？解题过程中用了哪些知识点？通过学生反思，得知如果ac+bd= - 2，则|ac + b d|=2与|ac + b d|≤1矛盾，所以上述证明是错误的。本题是以绝对值不等式为背景的，所以想到利用绝对值的定义来证明此题。
证法 ：（比较法）
∵|ac+bd|≤1
∴- 1≤ac+bd≤1 即 ac+bd≥-1且ac+bd≤1
利用作差法证明上述两式。
通过这样反思，学生反思至少有以下两点收获：①本题是含绝对值不等式的证明题，利用去绝对值来证明，思路得到了肯定，下次遇这类题就不会手足无措；②反思过程中得知绝对值不等式是双向的，单向成立是不能推出绝对值成立的，这样在以后遇到类似的题目不会出错。
2、反思有无其它解题方法
对于同一 道题，从不同的角度去分析研究，可能会得到不同的启示，从而引出多种不同的解法，当然，我们的目的不在于去凑几种解法，而是通过不同的观察侧面，使我们的思维触角伸向不同的方向，不同层次，发展学生的发散思维能力。
如上述例题解完后，再引导学生想一 想除了利用定义去绝对值外，还可以利用什么方法去绝对值，通过思考学生得出可以平方。即用分析法证明此题。
证法二：（分析法）
要证 |ac+bd|≤1
即证 （ac+bd）2≤1
即证 a2c2+2abcd+b2d2≤1
而 a 2 + b 2 = 1，c 2 + d 2 = 1
∴ a2c2+2abcd+b2d2≤（a 2 + b 2）（c 2 + d 2）
∴ （ad – bc）2≥0
∵ a、b、c、d∈R，
∴ 上式恒成立，即原结论得证。
再让学生观察题目的条件和结论，看一 看各种形式，会有意想不到的效果。通过仔细分析、观察，学生会联想到本题是含有绝对值的不等式证明，应想到利用绝对值不等式的性质和均值不等式来证明此题。
证法三：∵ a、b、c、d∈R，
∴ |ac| ≤ ；|bd |≤
∴ |ac + b d|≤|ac| + |bd |≤ + = = 1
∴ |ac+bd| ≤ 1。
利用绝对值不等式和均值不等式证明时要注意等号成立的条件。
由条件中有两个实数的平方和为1，而三角函数中也有平方和为1，所以可想到利用三角代换来证明。
证法四：（三角换元）
设a=cosα，b=sinα，c=cosβ，d=sinβ
∴ ac+bd = cosαcosβ+ sinαsinβ=cos（α – β）
∵ |cos（α – β）|≤1，
∴ | ac+bd|≤1
由条件中的平方和与ac+bd，学生会联想到向量中两向量的模和数量积。学生就会试着构造向量去解决本题。
证法五：设 =（a，b）， =（c，d）
∵ | |= =1 | | = =1
· = ac+bd · =| ||·| |·cosθ
∴ | · |≤| |·| | =1
∴ |ac+bd |≤ 1
通过构造向量来解题，这种方法有创意，但一 般学生很难想到这种思路，要求有较高的综合处理问题的能力。
这种思考其实就是“一 题多解”，让学生从不同的角度去观察、分析、思考，联想到均值不等式、三角换元、向量等知识，这样就可以让学生进一 步体会新旧知识的内在联系，使所学知识融会贯通，使学生的思维空间更广阔，解题更富有灵活性。
3、反思结论或性质在解题中的作用
有些题目本身可能很简单，但是它的结论或做完这道题目本身用到的性质却有广泛的应用，如果让学生仅仅满足于解答题目的本身，而忽视对结论或性质应用的思考、探索，那就可能会“拣到一 粒芝麻，丢掉一 个西瓜“。
例2：如图1：二面角α—BC—β的大小为θ
（θ是锐角）A∈β，A在α内的射影为A/，求证：cosθ= 。

题目的证明很简单，但这个关系式却给出了求一 个二面角的平面角的方法，特别是当一 个二面角的平面角不易作出时，（如两平面相交于一 点时）而当二面角的一 个面所在的三角形及这个三角形在另一 面内的射影面积容易求出时,利用这个结论求二面角是一 种极为简捷的方法。
例如：2001年全国高考题理科卷第17题：
如图：在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=900，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD = ，
（1） 求四棱锥S—ABCD的体积；
（2） 求面SCD与面SAB所成二面角的正切值。
本题的（2）可用例2的结论来求，这里只要求出S△SCD与S△SAB，则所求的二面角θ应满足COSθ= ，解答略。
所以解完一 道题后，思考一 下解题过程和结论其收获将远远超出解题本身，使学生有可能揣测到一 类题的解题规律。
4、反思题目能否变换引申
改变题目的条件，会导出什么新结论；保留题目的条件结论能否进一 步加强；条件作类似的变换，结论能扩大到一 般等等。象这样富有创造性的全方位思考，常常是学生发现新知识、认识新知识的突破口。
例3：点P在椭圆 +y2=1上运动，求定点A（0，2）到动点P的距离|AP|的最大值。
这是一 道简单题，学生很容易得出结论，|AP|的最大值是。解完这题后，我引导学生思考，能否把题目变一 下，引起学生热烈的议论和争论，通过师生共同讨论、总结，得出以下的几种变题：
变题1：将求|AP|的最大值改为求|AP|的最小值。
变题2：将椭圆改为双曲线 — y2=1，结论改为求|AP|的最小值。
变题3：将椭圆改为抛物线y2=2x，结论改为求|AP|的最小值。
变题4：已知点P在椭圆 +y2=1上运动，定点A（0，a）（a>0），求|AP|的最大值。
变题5：动点Q在圆x2+y2 – 4y+3=0上运动，动点P在椭圆 +y2=1上运动，求|PQ|的最大值。
（将圆方程化为x2 +（y – 2）2=1，则圆心A（0，2），问题就转化为原题了）
变题6：求三角式（cosα– 2cosβ）2+（2+sinα– sinβ）2的最大值。
变题7：设椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，且离心率e = ，点P在椭圆上运动，若定点A（0，2）到动点P的距离的最大值是，求椭圆方程。并求|AP|取最大值时，点P的坐标。
通过这种反思，由一 题多变，侧重训练了学生思维递进性；由多题一 解，侧重训练学生思维的深刻性；由条件和结论的换位，侧重训练学生思维的变通性；由多向探索，侧重训练学生思维的广阔性。这样让学生掌握一 类题型的解法，可以达到事倍功半的效果。
5、反思解决问题的思维方法能否迁移
解完一 道题目后，不妨让学生深思一 下解题程序，有时会突然发现：这种解决问题的思维模式竟然体现了一 训重要的数学思想方法，它对于学生解决一 类问题大有帮助。
例：与的值相等的是 （ ）
A、tan100 – cot500 B、- cot500 C、- tan250 D、tan750
解：∵>0，而A、B、C的值均小于0，∴应选（D）
本题的解答虽然简单，但它却体现了解选择题的一 种独特的数学思想方法——估算法。在某些选择题的解答中，运用估算法，其解法令人称奇。
总之，解完一 道题目后，作为我们教师应积极的引导学生进行反思，这样，有利于深化学生对数学知识和方法的认识，真正领悟到数学的思想和知识的结构，促进其创造性思维能力的发展，从而充分发挥学生的智能和潜能。
以上几点是本人对高中学生解题后应反思些什么的一 点肤浅的看法，不当之处，敬请各位同仁批评指正。